Numeros Enteros

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo delante de los positivos:

Los números enteros no tienen parte decimal.

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas.

NECESIDAD DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo, creó lo que se conoce como números naturales. Sin embargo, estos números no le fueron suficientes para representar algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las temperaturas sobre cero y bajo cero, las pérdidas o los años transcurridos antes y después de Cristo.

Los números enteros se representan por la letra Z.

El conjunto de los números enteros esta formado por los: enteros positivos, negativos y el cero.

a) Enteros positivos (los naturales): son los números que tienen delante el signo + y los

representamos por Z+.

Z+= {+1, +2, +3, +4 . . .}

Un entero positivo se puede representar con el signo (+) o sin ningún signo.

Por ejemplo: {+1, +2, +3, +4 . . .} = {1, 2, 3, 4 . . .}

Podemos decir que Z+ " Z

b) Enteros negativos: Son los números que tienen delante el signo ( - ) y los representamos por Z-

Z- = {-1, -2, -3, -4 . . .}

Lectura y escritura de un número entero negativo:

- 1 1 negativo o menos uno

- 10 10 negativo o menos 10

c. El cero: Número entero que no es positivo ni negativo.

Por lo tanto, el conjunto de los números enteros es la unión de tres conjuntos a saber:

Z = Z+ U {0} U Z-

Z = { . . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS COMO PUNTOS EN UNA RECTA.

Para representar gráficamente los números enteros los asociamos a puntos en una línea recta extendida indefinidamente, en cada una de las dos direcciones ubicando el cero en la parte central de la línea y localizaremos puntos a la izquierda y derecha del cero. Así:

NÚMEROS OPUESTOS

Dos números enteros que se encuentran a la misma distancia del cero, pero en sentido contrario uno del otro, se denominan números enteros opuestos

Ejemplo:

a) 1 y - 1 b) 2 y - 2 c) 3 y - 3

VALOR ABSOLUTO

Definición: Es la distancia a la que se encuentra el número del cero.

La distancia entre el origen y el punto 3 es igual a la distancia entre el origen y el punto

-3.

Esta distancia se representa por medio del número 3 en ambos casos.

El valor absoluto se expresa encerrando el número entre dos barras.

Así, escribimos

ø3 ø = 3 y ø-3 ø = 3 o sea que ø3 ø = ø-3 ø = 3

y concluimos que:

El valor absoluto de cualquier número entero es positivo

El valor absoluto de cero es cero.

Orden entre los números enteros

Utilizaremos los símbolos “< ” y “ > ” para representar “es menor que” y “es mayor que”, respectivamente. El signo “= ” para sustituir las palabras “es igual a”.

De acuerdo al orden de los números enteros sobre la recta numérica, podemos escribir:

a< b a es menor que b, a = b a es igual a b, a > b a es mayor que b.

Observaciones generales:

Todo número positivo es mayor que cero.

Todo número negativo es menor que cero. Así, -5 < 0 y - 4 < 0.

Todo número positivo es mayor que todo número negativo. Así, 5 > -2 , 8 > -10

De dos números negativos, es mayor el que está más cerca del cero. Así, - 2 > -8, -1 > -10

De dos números positivos, es mayor el que está más lejos del cero. Así, 10 > 2

RELACIONES DE ORDEN EN Z

En la representación de los enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en el conjunto de los números enteros, siendo los números negativos menores que los positivos y que el cero.

Propiedad:

LA ADICIÓN EN Z

Conjunto o reunión de varios números, es el resultado de la adición.

Cuando se suman dos números enteros el resultado es un número entero.

Ejemplos :

+2 + (4) = +6 ; +3 + (4) = +7 ; +10 + (+11) = +21

En el otro capítulo habíamos dicho que : los números enteros son aquellos números que pueden expresarse como el cociente de una división exacta.

Es decir que al dividir 30 / 5 , obtenemos en el cociente 6 y seis pertenece a los números enteros ; o más seis (+6) .Por eso se dice el cociente de una división exacta .Recuerde que el cociente es el resultado de una división, entonces cuando en una división ,cuyo residuo es cero el cociente es entero.

Si sumamos dos enteros de signos contrarios el resultado será dado por la diferencia de los valores absolutos de los sumandos y llevará el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos: -2 + (+5) = +3 ; recuerde que el orden de los sumandos no altera la SUMA, que es +3. Ahora (+5) + (-2), al -2 , debo colocarlo dentro de un paréntesis ,porque no deben ir dos signos +,- , juntos.

Este mismo ejercicio nos dio +3 por lo de la propiedad conmutativa de la adición.

Las propiedades de la adición en Z son:

Conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento simétrico.

La asociativa es similar a la conmutativa, es decir, la forma como se agrupan los sumandos no altera el resultado (SUMA).

Se agrupan con signos especiales llamados de AGRUPACIÓN, ellos son:

Paréntesis, ( ); Llaves, { }, y corchetes,[ ].

El elemento neutro de la adición se llama cero (0).

El elemento simétrico es el opuesto de un número, es decir el mismo número pero de signo contrario. 4 (-4).

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

. Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:

. 7 + 11 = 18

. -7 - 11 = -18

. Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

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