OBSERVADORES EN MODO DESLIZANTE.

CAPITULO   SEIS

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Observadores en Modos Deslizantes

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Todos los métodos de diseño de los capítulos anteriores, excepto de aquellos de la sección 5.5, se han desarrollo en el espacio de estado. En la práctica, sin embargo, solo una parte de las componentes pueden ser medidas directamente. Los métodos de control en modos deslizantes de la sección 5.5 (con la señal de salida siempre disponible para la retroalimentación) son aplicables solo a un número limitado de sistemas. Una alternativa es diseñar observadores asintóticos, los cuales constituyen modelos dinámicos para estimar todas las componentes del vector de estado utilizando la medición directa de las componentes. Primeramente, se estudiarán  los observadores convencionales de orden completo y de orden reducido relacionados con sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Posteriormente se presentarán las modificaciones a modos deslizantes de los observadores de estado de sistemas variantes e invariantes en el tiempo (Utkin, 1992) con estimación de perturbaciones externas (Hashimoto et al., 1990).  

6.1 Observadores lineales.

La idea de diseño de los observadores puede ser ilustrada para sistemas invariantes en el tiempo (5.1.1.):

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x= Ax+Bu                                                                         (6.1.1)

con el vector de salida

 y = Cx y∈ℜl , C = const , rank (C) = l   (6.1.2)  

La pareja de matrices (C,A) se suponen observables.

Un observador lineal se diseña en la misma forma que el sistema original (6.1.1) con una entrada adicional pendiente de la diferencia entre los valores reales (6.1.2) y los valores estimados del vector de salida:

xˆ = Axˆ + Bu + L(Cxˆ − y)                                                               (6.1.3)

Donde xˆ es un estimado del vector de estado del sistema y L∈ ℜ n×l es una matriz de entrada. Por supuesto, el vector del observador de estado xˆ está disponible para generar la acción de control con ayuda de la dinámica del sistema auxiliar. La ecuación del movimiento con respecto a  la diferencia  x = xˆ − x es:

1. = (A + LC)x                                                                         (6.1.4)

El comportamiento del corrimiento gobernado por  la ecuación homogénea (6.1.4) se determina mediante los valores característicos de a l matriz A+CL. Para los sistemas que sean observables, es posible seleccionar en forma arbitraria a la matriz L (Kwakernaak y Sivan, 1972). Esto significa que es posible prever cualquier razón de convergencia de la matriz de estado. Por lo tanto, es posible aplicar cualquier algoritmo de control utilizando el  estado observado xˆ(t). 

El orden del observador puede reducirse debido al factor de rango de rango(C) =l y el vector de estado puede ser representado como:

1. = C1x1 +C2x2         xT = [x1T        xT2 ],         x1 ∈ℜn−1 , x2 ∈ℜ1,  del(C2) ≠ 0 

Es suficiente diseñar el observador para el vector x1 , siendo el valor de x2igual a:

 x2 = C2−1 (y − C1x1 )        (6.1.5)

Escribiendo las ecuaciones del sistema (6.1.1),(6.1.2) en el espacio (x1, y):

(Si la transformación de coordenadas es no singular, entonces det(T) ≠ 0 .)

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