Optimization

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

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Problemas

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f(x) =x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax

...