Optimical

Ahora la variable de control u(t) es el instrumento último de optimización. Este

problema de control está por tanto íntimamente ligado al problema de cálculo de

variaciones, permitiéndonos sin embargo resolver además de los problemas que

podíamos solucionar mediante el cálculo de variaciones, otros que no tenían solución a

través de dicho método. De hecho, el cálculo de variaciones no deja de ser un caso

especial del control óptimo, en el que se sustituye x(t) en la integral, y se adopta la

ecuación diferencial x(t) = u(t) como ecuación de movimiento.

Principio del máximo

Sea el programa:

M ax J = t dt +'5 [*(/i)>/i]

s.a:

x = f ( x , u , í)

x(t0) = x0; /„x (í,) libres

u(t) e CXO = conjunto de controles admisibles

Construimos la función hamiltoniana asociada, que contiene la restricción del

problema:

H(x,u,X,t) = F(x,u,t) + Áf(x,u,t)

siendo:

x(t) = variable de estado

u(t) = variable de control; £í(/) = conjunto de control

X(t) = variable de coestadoTeorema

La condición necesaria para que el control admisible u*(t) sea el óptimo que

conduce el sistema de (x0,/0) al punto inespecificofxíXXíJes que:

a) X* (i), x * (/) son solución del sistema:

[a -1 ] x*(t)~^-(x*,u*,X*,t)

[ a - 2 ] X*(t) = - ^- (x*, u*,X*,t )

L J O X

b) H(x*,u*,X*,t)>H(x*,u,X*,t)

I.e.\ H es má ximo respecto de u(t) [se admiten soluciones de frontera]

c) Se verifican todas las condiciones de frontera requeridas, en particular las de

transversalidad.

/, desconocido, *(/,) libre:

Condiciones suficientes

Condiciones suficientes de Maneasarían

Max J = \ F(x,u,t)dt

Jo

s.a:

x = f(x,U,t)

x(0) = xo,

x(T) = xT

x(T), T ambos desconocidos

Las condiciones necesarias de máximo del programa son condiciones suficientes

si:

I) F y f son cóncavas en x y u.

II) Si f no es lineal en x o en u en el máximo X(t) > 0 V / e [0, 71].

Condición suficiente de Arrow

Hamiltoniano derivado:

H° (x, A, t) = H(x, u*, X, t) = F(x, u*, t) + Xf (x, u*,t)

Las condiciones necesarias de máximo son suficientes si H°(x,X,t) es función

cóncava en x V/ e [0,7].2. APLICACIONES ECONÓMICAS

2.1 Una aplicación económica del cálculo de variaciones: maximización de la

utilidad individual de consumo

Se quiere conocer la tasa de consumo de una persona en cada instante temporal

que maximizará su utilidad descontada a lo largo de un período de tiempo de longitud

conocido. Se tiene que la utilidad del consumo en cada momento es una función cóncava

creciente conocida.

El objetivo

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