Organizacion y Jerarquizacion Matematicas 3

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Preparatoria 16

Matemáticas III

Etapa I. Organización y Jerarquización

Maestro: Fransisco Javier Salinas Rodriguez

José Juan Valadez Carmona

Grupo 208

Parte 1. La función lineal

Con ayuda de tu profesor forma equipos de trabajo y con base en la lectura del tema “la función lineal” de tu libro de Matemáticas 3, contesta las siguientes preguntas y en sesión plenaria comparen y corrijan sus respuestas.

1. Define “función lineal” y menciona tres ejemplos. ¿Por qué se le llama función lineal?

1. Define “función constante y menciona 3 ejemplos. ¿ Por qué se le llama función constante?

1. Si la función lineal está formada y= mx + b con m diferente de 0, ¿ que representan las constantes m y b ?

1. Para analizar las propiedades de la grafica de la función lineal, bosqueja en un mismo sistema de coordenadas cada una de las siguientes funciones y responde a la pregunta planteada:

1. F(x) = x + 1

2. F(x) = 2x + 1

3. F(x) = 4x +1

4. F(x) = -2x + 1

5. F(x) = -4x + 1

¿Qué tienen en común las graficas anteriores?

Entonces,  ¿cuál es el efecto del signo del coeficiente de x en la grafica de la función lineal y = mx + b

1. F(x) = x

2. F(x) = x + 2

3. F(x) = x – 2

4. F(x) = x + 5

5. F(x) = x – 5

¿Qué tienen en común las graficas anteriores?

Entonces, ¿ cual es el efecto del termino constante b en la grafica de la función lineal y = mx + b )

1. De manera individual realiza la lectura “Propiedades de la grafica de una función lineal” del libro de texto Matemáticas 3. Con base en la lectura contesta las siguientes preguntas en plenaria:

1. ¿Qué es la pendiente de una función lineal y como se denota?

1. ¿Cuál  es la formula para determinar la pendiente de una recta?

1. ¿Cómo se determina la intersección con el eje Y de una función?

1. ¿Cómo se determina la intersección con el eje X de una función?

1. ¿Cómo identificas la pendiente de una recta x si la conoces bien asi?

Por ejemplo ¿ cuales son las pendientes de las funciones lineales siguientes ?

Y = 3x – 5 , y = -4x + 1, y = x + 8, y = 2/3 x – 7

6 ¿Cuales son las ecuaciones y las pendientes de las siguientes rectas horizontal y vertical?

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En general, ¿ cuál es la pendiente de una recta horizontal, ¿Cuál es la pendiente de una recta vertical?.

7. Llena la siguiente tabla con la informacion correspondiente:

Tomando como referencia la formula de la pendiente y la tabla anterior determina las diferentes formas de ecuación  de la recta que pasa por los puntos ( -6, -2) y (3,4). Traza la grafica en tu libreta y comparala graficandola con Geogebra.

8. Al trazar dos rectas puede ocurrir que estas sean parelelas, perpendiculares u oblicuas. Investiga las condiciones de paraelismo y de perpendicularidad de 2 rectas y a que se hace referencia al decir que 2 rectas son oblicuas. Comenten sus hallazgos en plenaria.

Parte 2. Desigualdades e inecuaciones lineales

1. Define los conceptos de “desigualdad” e “inecuación”.

1. ¿Cuáles son los simbolos usados para representar una desigualdad?

1. En la siguiente tabla se representan los tipos de intervalos de la recta real y sus formas de representarlo. Ejemplifica cada uno de ellos. Los extremos a y b representan numeros reales a

1. Las propiedades de desigualdades te servirán para poder resolver inecuaciones lineales, por lo que es importante que las conozcas y las entiendas. ¿Cuándo la direccion del simbolo de desigualdad se invierte?

1. Bajo la guia del profesor analicen los pasos para resolver una desigualdad. Encuentra el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones lineales y traza la grafica de su solución:

1. 4(x-15) – 12 s 5(-9-x)

2. 5(9-x) <4(x+15) + 12

3. 4(x +15) +12 < 5(9-x)

4. 5( -9-x )< 4(x-15) -12

Parte 3. La función cuadrática

1. ¿Cuál es la ecuación general de la función cuadrá tica?

1. ¿En que tipo de funcion se convierte la ecuación general de la función cuadrática si el coeficiente de x*2 es igual a 0?

1. Transforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación de una función cuadrática.

1. Y = ( x-4 )(x +3 ) +7

2. Y = (x - 3)*2

3. Y = 2x(x – 7) +5

1. Para ver el efecto que tiene el signo del coeficiente de x*2 en la grafica de una funcion cuadratica, grafica las funciones  y = x*2 y y = - x*2.

Con vase en las graficas realizadas, responde las siguientes preguntas:

1. ¿qué nombre recibe la grafica de una función cuadrática ?

2. ¿Hacia dónde abre la grafica si el coeficiente “a” es positivo?

3. ¿Hacia donde abre la grafica si el coeficiente “a” es negativo?

1. Para ver el efecto que tiene el coeficiente de x*2 en la forma de la grafica de una funcion cuadrática, grafica las funciónes, y = ½ x*2, y = x+” y y= 2x*2.

2. Para ver otra caracteristica de la grafica de una función cuadratica responde las siguientes preguntas:

1. Una ecuacion cuadrática de la forma ax*2 + bx + c = 0 puede ser resuelta empleando la “formula general cuadrática”, ¿cuál es la expresión de esta formula?

1. En la formula anterior, ¿ a que se le llama “discriminante” ?

Con base a lo anterior responde lo siguiente:

Si el discrimiante es positivo (b*2 – 4ac>0), ¿cuántas intersecciones tiene la parabola con el eje X?¿Qué ´puedes decir acerca de las soluciónes de la ecuación cuadrática ax*2+bx+c= 0?

Si el discriminante es cero (b*2 – 4zc =0), ¿Cuántas intersecciones tiene la parabola con el eje X? ¿Qué puedes decir acerca de las soluciones de la ecuación cuadrática ax*2+bx+c=0?

Si el discriminante es negativo (b*2 – 4ac<0), ¿Cuántas intersecciónes tiene la parabola con el eje x? ¿Qué puedes decir acerca de las soluciones de la ecuación cuadratica ax*2+bx+c = 0?

¿Cómo se llama al único punto de la parabola donde para cada valor de “y” existe solo un valor de x?

¿Cuál es la formula para calcular la cordenada “x” del vertice de la grafica de la función cuadratica? Conocido este valor, ¿Cómo como calculas el valorde las cordenada “y” del vertice de la parabola?

Determina las coordenadas del vertice de las funciones cuadraticas del inciso c) y compara tu respuesta graficamente.

1. Asi como la ecuacion de una funcion lineal puede escribirse en diferentes formas, tambien la ecuación de una función cuadrática tiene otra forma de escribirse (además de la forma generál) llamada “forma vertice”, responde las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es la forma vertice de la ecuación de una función cuadratica y que represental cada una de las literales que aparecen en ella?

2.  Una vez que tu profesor haya ejemplificado la manera de transformar una funcion cuadratica a la forma vertice, escribe las siguientes funciones cuadráticas en la forma vertice:

Y = x*2 – 4x   ,  y= x*2 + 6x + 7

1. Cuando resuelves una funcion cuadratica utilizando la formula general cuadrá tica en ocasiones obtienes soluciones “no reales”. Numeros imaginarios y complejos, contesata las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo se define la “unidad imaginaria”?¿como se representa?

1. ¿Qué es un “numero imaginario”?

1. Representa los siguientes numeros imaginarios en terminos de la unidad imaginaria i:

• v/ -9 =

• v/ -13=

• v/ -25=

• v/ -5 =

1. ¿Cómo se define un “numero complejo”? Escribe 3 ejemplos.

1. ¿Cómo se define “numeros complejos conjugados”? Escribe 3 ejemplos.

1.  Comocidos los numeros imaginarios, los numeros complejos y los numeros complejos conjugados, estás en condiciones de resolver ecuaciones cuadráticas que tienen “soluciones no reales”

X*2 +6x +10 =0 ,  x*2 – 10x +41 = 0

1. En equipos o binas bosqueja las graficas de las siguientes funciones cuadráticas.

• Orientacion de la grafica( ¿hacia donde se abre? )

• Coordenadas de su vertice V (h,k)

• Interseccion de la grafica con el eje Y.

• La naturaleza de sus raices o ceros de la funcion (valor y analisis del discriminante).

• Interseccion o intersecciones de la grafica con el eje X (si las hay).

• El eje de simetria.

•  Y = x*2 -8x + 12

•  Y = -2x*2 +4x +6

1. En la actividad anterior bosquejaste graficas de funciones cuadraticas tomando como base sus elementos mas importantes. En esta actividad realizaras un proceso inverso, es decir, determinaras la funcion cuadraticas si conoces puntos que perteecen a la grafica o a la misma.

1. Halla la ecuacion de la funcion cuadratica cuya grafica pasa por los puntos:

( -1,-10), (2, -1) y ( -3, -26 )

1. Encuentra la ecuacion de la funcion cuadrática que corresponde a la siguiente grafica:

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Parte 4. La funcion polinomial de grado superior 

1. Para realizar la division de un polinomio P(x) = anx” + a (n-1)x (n-1) + a, x+a, entre un bionomio x- a, existe un metodo llamado “division sintetica” que involucrea solo a los coeficientes del polinomio. Mediante este metodo y el uso de algunos teoremas podras factorizar polinomios de cualquier grado.

1. (3x*3 +2 -5x + 2x*2) + (x +1)

2.  (7x*3 -24x +6) + (x-2)

1. El teorema de la raiz racional o la prueba de la raiz racional inicial una restriccion en las soluciones racionales ( o racionales) de la ecuacion polinomica con coeficientes enteros.

1. Con base en el teorema de la raiz racional determina los posibles raices de los siguientes polinomios:

f(x) = x*3 + 5x*2 – 2x – 24  g(x) = 2x*3 + 3x*2 – 8x + 3

De estas posibles raices, verifica caules son efectivamente esas raices en el polinomio correspondiente.

1. En binas o en equipo, investiga el “teorema del residuo” y con ayuda de tu profesor en sesión plenaria, comenten su aplicación.

1. Ahora, con ayuda Teorema del residuo y usando la división sintetica, vuelve a verificar las raices de los polinomios del inciso a) y compara los resultados obtenidos.

1. En binas o en equipo investiga el “Teorema del factor” y con ayuda de tu profesor, en sesion plenaria, comenten su aplicación en la factorizacion de polinomios.

1. En los incisos a y c encontrarse las raices de los polinomios f(x) = x*3 +5x*2 +2x – 24 y g(x) = 2x*3 +3x*2 -8x +3. Entonces, con base en el teorema del factor, indica cuales son los factores de estos polinomios.

1.  Para complemetar tolo lo aprendido en los incisos anteriores, factoriza el siguiente polinomio utiliznado la divison sinetica, el teorema del residuo y el teorema del factor:

P(x) = x*3 – 6x*2 -13x + 42

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