PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y LA ESPERANZA

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PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y LA ESPERANZA

1. Esperanza

1. E(x + c) = E(x) + c

2. E(x + y) = E(x) + E(y)

3. E(ax) = aE(x)

4. E(ax + b) = aE(x) + b

5. E(ax + by) = aE(x) + bE(x)

2. Varianza

1. V(x) ≥ 0

2. V(ax + b) = a²V(x) ; V(b) = 0

3. V(x + y) = V(x) + V(y) + 2cov(x,y)

4. V(x - y) = V(x) + V(y) - 2cov(x,y)

APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES

* Si X ~ b(n,p) determine la E(X) y V(X)

* Demostrar que: E(X - E(X))² = E(X²) - (E(X))²

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DEFINICIÓN DESIGUALDAD DE SCHEVYSHEW

La desigualdad de Schevyshew (su nombre aparece de distintas formas en la literatura: Chebyshev, Chebychev, Tchebyshev, entre otros) permite comprender cómo la varianza mide la variabilidad de una dada variable aleatoria con respecto a su esperanza matemática, o en otras palabras, otorga un intervalo de confianza de la probabilidad de que una variable aleatoria con finita varianza se sitúe a una cierta distancia de su esperanza o media.

Si X es una variable aleatoria y es la esperanza de X, la cual existe, se dice que:

Esta desigualdad sirve de herramienta básica para demostrar resultados como la Ley de los grandes números recién mencionada, entre otros.

APLICACIÓN DESIGUALDAD SCHEVYSHEW

Dentro de las variadas aplicaciones que posee la desigualdad de Schevyshew las más destacadas son:

Acotamiento de probabilidades

Esta es la aplicación más común y se utiliza para dar un valor para P(|X-E(X)|≥k) donde k>0, sin conocer la función de probabilidad.

La desigualdad de Schevyshew, puede ser utilizada a su vez para demostrar teoremas límites, como por ejemplo el teorema límite de Schevyshew

Haciendo tender n hacia infinito, resulta lo siguiente:

Por lo cual para cada K>0 se obtiene:

Tamaño de muestra

La desigualdad de Schevyshew nos permite encontrar un tamaño de muestra n que es suficiente para garantizar que la probabilidad de que |Sn-μ|>=k ocurra sea tan pequeña como se desee, lo cual permite tener una aproximación a la media.

Sea X1,X2,…Xn una muestra de variables aleatorias independientes de tamaño n y supongamos que E(Xi)=μ y su varianza σ2. Entonces, por la desigualdad de Schevyshew se tiene que:

Desigualdades tipo Chebyshov

Dentro de la amplia gama de desigualdades de Schevyshew, una de las más conocidas es la desigualdad de Markov:

En esta expresión X es una variable aleatoria no negativa con k,r>0. La desigualdad de Markov puede tomar distintas formas. Por ejemplo, sea Y una variable aleatoria no negativa y supongamos que E(Y)=μ existe. Supongamos también que (E(Y))r=μr existe para algún entero r>1. Entonces:

Otra desigualdad destacada, es la de Gauss, la cual nos dice que dada una variable aleatoria unimodal X con moda en cero, entonces para k > 0

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