PROYECTO: LÍMITES Y CONTINUIDAD.CALCULO DIFERENCIAL

[pic 1]

MAESTRO:

DR. ISRAEL C. MAZARIO TRIANA

ALUMNOS:

BARRIOS HERNANDEZ GUADALUPE MONSERATH

GARCIA FARAH ARATH

GODINEZ RAMIREZ JACQUELINE

PROYECTO:

LÍMITES Y CONTINUIDAD

MATERIA:

CALCULO DIFERENCIAL

FECHA DE ENTREGA:

12-NOVIEMBRE-2018

CARRERA:

ING. INDUSTRIAL

GRUPO:

1° “A”

UNIDAD III: LIMITES Y CONTINUIDAD

3.1 NOCIÓN DE LÍMITE

DEFINICIÓN DE NOCIÓN LÍMITE

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende INFINITO.

FORMULA DE NOCIÓN DE LÍMITE

Como ya sabemos, L= f(x) que L viene siendo el límite para el eje Y, precisamente la noción de limite nos quiere dar a entender que mientras más nos acerquemos por el eje X, más nos vamos acercando a ese límite del eje Y que sería L.

Y para encontrar ese límite que es L, necesitaremos la siguiente formula.

Formalmente, se dice que la sucesión ha,n tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:

[pic 2]

3.2 DEFINICIÓN DE LÍMITE EN UNA FUNCIÓN

El límite de una función en un punto es obtener el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.

Se representa de la siguiente manera:

[pic 3]

Que significa,  que cuando X tiende al punto Xo, el valor de la función se va aproximando a L, por tanto, el límite de esa función cuando X tiende a Xo es L.

Conforme nos vamos aproximando al valor Xo en el eje x, en el eje y, el valor de la función se va a aproximando al valor L.

X puede tender a cualquier valor, desde menos infinito hasta más infinito y el límite de una función también puede ser desde menos infinito hasta infinito.

No hay que confundir el límite de una función con el valor de una función en punto, que es el valor que tiene la función justo en ese punto.

Ejemplo.

¿Cuál es el límite de la siguiente función:

x2+2x+1[pic 4]

Cuando x tiende a -1?

El límite de la función cuando x tiende a -1 se escribe:[pic 5]

x2+2x+1[pic 6]

Para que se entienda como el valor de la función se va a aproximando a un valor determinado, mientras que x va tendiendo a -1, se tiene que ir  viendo cuál es el valor de la función para los puntos que próximos a -1 y cada vez se va a ir acercando más a -1.

Primero se va acercando cada vez más a -1 por la izquierda.

Cuando x=-1,3, el valor de la función es:

(-1,3)2+2(-1,3)+1=0,09[pic 7]

Cuando x=-1,2, el valor de la función es:

(-1,2)2+2(-1,)+1=0,04[pic 8]

Cuando x=-1,1, el valor de la función es:

(-1,1)2+2(-1,1)+1=0,01 [pic 9]

Conforme nos vamos acercando a -1, el valor de la función se va aproximando a 0.

Se  hace lo mismo ahora, pero acercándose  al 1 por la derecha.

Cuando x=0,7, el valor de la función es:

(0,7)2+2(0,7)+1=0,09[pic 10]

Cuando x=0,8, el valor de la función es:

(0,8)2+2(0,8)+1=0,04[pic 11]

Cuando x=0,9, el valor de la función es:

(0,9)2+2(0,9)+1=0,01[pic 12]

Como se  puede observar, conforme se va acercando a x=-1 por la derecha, la función se va aproximando cada vez más a 0.

 Gráficamente, se observa como la gráfica de la función se aproxima al punto 0 en el eje y, cuando los valores de x se van a aproximando al punto -1 en el eje x:[pic 13]

Por tanto, el límite de la función cuando x tiende a -1 es igual a 0:[pic 14]

x2+2x+1=0[pic 15]

Como resolver el límite de una función:

En los casos donde el dominio de la función es continua R, como por ejemplo en polinomios, el límite de la función en un punto se va a calcular igual que el valor de la función en ese punto, es decir, sustituyendo el valor por la x.

Vamos a resolver el límite de la función anterior cuando x tiende a -1:

2+2x+1=[pic 16]

Para resolverlo,  sustituir la x por -1 y operar: = (-1)2+2(-1)+1=-2+1=0

Y se obtiene que  el resultado del límite que es 0. Cuando se sustituye el valor al que tiende la x por la x, el límite desaparece.

En funciones que no son continuas, hay puntos donde el límite tenga un valor y sin embargo, la función en ese punto no exista o el valor de la función tenga otro valor distinto.

Por ejemplo, en la siguiente función:

[pic 17]

El límite cuando x tiende a -1 es igual a 0, pero sin embargo el valor de la función en x=-1 es igual a 2:

[pic 18]

[pic 19]

O el caso de esta otra función:

[pic 20]

 Si calculamos el límite de la función cuando x tiende a 1:

=        [pic 21]

Sustituimos la x por el 1:

[pic 22]

3.3 PROPIEDADES DE LOS LIMITES

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