Pares Ordenados

1.- Pares de Ordenados:

Se llama Par Ordenado o dupla cuyo símbolo es (x y) al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dos conjuntos:

1.- el conjunto {x y} que es un par simple.

2.- el conjunto {x} de un único elemento.

Definición: (x y):= {{x y} {x}}

(x, y): Par Ordenado (PO)

x: Primer elemento del Par Ordenado (Primera componente del Par Ordenado).

y: Segundo elemento del Par Ordenado (Segunda componente del Par Ordenado).

Observación 1: Par Ordenado es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x y} ∈ (x y).

Observación 2: La igualdad de Par Ordenado es la de Conjuntos.

Observación 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del Par Ordenado, porque los números todavía no están definidos. Justamente el concepto de número se define a partir del Par Ordenado.

La importancia del Par Ordenado se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de él se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemática clásica.

Un par simple es un conjunto formado por 2 elementos, cuyo símbolo es {xy}: Par y cumple con la igualdad de conjuntos {x y} = {y x} donde se observa que a los elementos x e y del par no se les asigna ninguna característica particular que les otorgue un papel diferente dentro del Par. Es decir son simplemente y nada más que elementos del Par. Mientras en el Par Ordenado a sus dos elementos x e y, se les asigna una característica diferencial, la de ser primer o segundo elemento (componente). La definición de Par Ordenado se introduce justamente para asignar a cada elemento de un par simple propiedades específicas.

Por ejemplo el conjunto de manos de una persona constituyen un Par si no se da una diferencia entre ellas. Sin embargo si se distinguen la mano izquierda de la derecha se está en presencia de un Par Ordenado al haberle asignado a los elementos del par una característica diferencial. Análogamente se tiene otro ejemplo en el conjunto Matrimonio que está formado por un par de personas, y se distingue entre hombre y mujer se tiene un par ordenado. El papel diferente de ambas componentes es la base para establecer el concepto de Relación en general.

La forma de asignar una característica diferente a los elementos x e y es por medio de diferenciar su presencia en los conjuntos que lo definen:

1.- {x, y} donde se define el Par.

2.- {x} donde se define la primera componente.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

1.1.- Producto cartesiano:

Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representación no es conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden.

Como se puede observar en el recuadro los conjuntos A y B y las combinaciones que se pueden hacer entre los elementos de ambos conjuntos:

1.2.- Plano cartesiano:

Todo par ordenado escrito con números representa un punto del plano, donde la primera componente (el primer número) recibe el nombre de abscisa (eje x) y la segunda componente recibe el nombre de ordenada (eje y).

1.3.- Función:

Puedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16). Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados: Ejemplo: {(4,3), (2,5), (7,3)} es una función que dice que "4 se relaciona con 3", "2 se relaciona con 5" y "7

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