Es el conjunto de pares ordenados(x1,x2) con meros reales x1,x2

Es el conjunto de pares ordenados(x1,x2) con meros reales x1,x2 y nú

 Diremos que un vector es un segmento de recta dirigido, esto significa que un vector es el segmento de recta desde un punto inicial hasta un punto terminal.

En general si P=(x1,y1) y Q=(x2,y2)  entonces el vector PQ=(x2-x1,y2-y1)

Un vector v en el plano o en xy R2 es un par ordenado de números reales (a,b)

Los números a y b se denominan elementos o componentes del vector v.

La norma de llvll=[pic 1]

Definición operaciones con vectores en R2

Si V=(v1,v2) y W=(w1,w2) son vectores en R2, y si c pertenece R, entonces:

• La + de V+W es=(v1+w2, =(v2+w2)
• El product de C y V es CV=(cv1,cv2)

Teorema

Si y son dos vectores y es un escalar, entonces u v c

• ll cv ll=lcl llvll
• ll V+W ll llvll + llWll[pic 2]

Definición vectores paralelos

si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Se escribe UllV. Tienen la misma dirección si el escalar es positivo, o direcciones opuestas si el escalares negativo.

Definición combinación lineal

Si u y v son vectores, una combinación lineal de ellos es un vector de la forma

au + bu , con a,b pertenece R .

Definición vectores unitarios

Un vector unitario es uno con la norma igual a 1.

Nota: Para obtener un vector unitario con la misma dirección de , basta multiplicar a u  por [pic 3]

Nota: Si u y v son vectores de  R2 o  R3 entonces, si:

U•V    U y V apuntan en direcciones semejantes en el sentido de que el ángulo entre ellos es agudo. -90[pic 4]

U•V   U y V apuntan en direcciones divergentes en el sentido de que el ángulo entre ellos es obtuso +90[pic 5]

U•V   U y V son exactamente perpendiculares. =90[pic 6]

Teorema

El producto escalar en  R2 o en  R3 satisface las siguientes identidades, para cualesquiera

vectores u, v y w, y cualquier escalar c R .

u•v=v•u

u•(v+w)= u•v + v•u

c( u•v )= (cu)•v =u•(cv)

v•v=llvll2

Angulo entre vectores

Teorema

Si u y v son dos vectores distintos de cero en R2 o R3 , y  el ángulo entre ellos entonces:

Cos ᶿEn consecuencia,        ᶿ=arcos [pic 7][pic 8]

Teorema

Dos vectores u y v en  R2 o en  R3 son perpendiculares (ortogonales, normales, lo cual

se denota u ┴ v si y solo si su producto escalar es igual a cero

Proyección orthogonal

Sean u y v vectores  R2 o en R3 diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v

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