Conjuntos Ordenados

Matemáticas aplicadas

“Conjuntos ordenados”

La asignación de los elementos de un conjunto se efectúa en un orden específico (permutaciones), o seleccionando un subconjunto con un número fijo de elementos (combinaciones), o tomando en cuenta criterios de selección y de ordenación (variación o arreglo).

Ya se dijo que el orden no era factor importante dentro de los conjuntos, sin embargo, ahora por el contrario, nos interesa considerar conjuntos en que el orden es fundamental. A veces el orden surge de la propia naturaleza como los números reales o las letras del abecedario, el orden cronológico etc.

• El concepto formal del orden

Toda relación de orden debe ser transitiva (inclusión, mayor, menor, como ejemplo: A ʗ B y B ʗ C => A ʗ C

a) Toda relación de orden debe ser asimétrica (pertenencia, inclusión propia, mayor y menor) ejemplo: Si x ϵ p => p Ɇ x

b) Reflexibilidad; La relación menos o igual no define un orden estricto

c) Orden total y orden parcial, para cualquier par de elementos x, y, se tiene que X < y

• Pares ordenados: Se tienen entre los conjuntos n elementos en particular las parejas, pares o conjuntos de dos elementos. [a,b] se entiende como un conjunto ordenado en donde el primer elemento es a y el segundo b.en la igualdad de pares ordenados tenemos como ejemplo:

P= {a, b} y Q= {c, d}

P = Q

a= c y b= d, alternativamente a= d y b= c

P y Q son pares iguales si y solo si a= c y b= d

• Producto cartesiano de conjuntos

El producto cartesiano de un conjunto P y un conjunto Q se define de la siguiente manera: P X Q= {(x, y)|x ϵP y ϵQ}

P cartesiano Q es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, donde el primer elemento de cada par pertenece al conjunto P y el segundo al conjunto Q.

• Número de elementos de un producto cartesiano

Sea n1 el número de elementos de A y n2 el número de elementos de B entonces el número de elementos de A X B será igual a n1. n2

Si n(A)= n1 y n(B)= n2 entonces n(AXB)= n1Xn2

• Generalización de la operación de productos cartesianos

R X T X V

Sean R= {2, 3}, T= {a. b. c}, V= {20, 30}

El producto cartesiano es:

RXTXV= {(2,a,20)(2,a,30)(2,b,20)(2,b,30)(2,c,20)(2,c,30)(3,a,20)(3,a,30)(3,b,20)(3,b,30)(3,c,20)(3,c,30)}

Se comprueba que: n(R)= 2, n(T)=3 n(V)=2 = n(RXTXV)= 12

• Diagramas arborescentes y tablas de entrada múltiple

Sean A=(2,6,0) y B=(3.7)

El diagrama arborescente es:

2 3 (2,3)

7 (2,7)

6 3 (6,3)

7 (6,7)

0 3 (0,3)

7 (0,7)

Tablas de entrada

A/B 3 7

2

6

0

...