Practica PCM

INTRODUCCIÓN

Los datos experimentales y las funciones matemáticas con frecuencia se presentan como curvas continuas, aunque se puede emplear un número finito de puntos discretos para construir la gráfica. Si estos puntos discretos o muestras, tienen un espaciamiento suficientemente próximo, se dibuja una curva uniforme uniéndolos, y los valores intermedios se interpolan con un grado razonable de exactitud. Por lo tanto se puede decir que la presentación continua se describe en forma adecuada por medio de puntos muestra.

Igualmente, una señal que satisface ciertos requisitos, se puede reproducir enteramente con un conjunto de apropiado de muestras instantáneas. Si esto se cumple , la teoría del muestreo establecerá las condiciones necesarias y sólo se necesitará transmitir los valores muestra según ocurran en vez de enviar la señal en forma continua.

MARCO TEÓRICO

TEORIA DEL MUESTREO

Una información simple pero bastante informativa a la teoría del muestreo, se consigue por medio de la operación de conmutación de la figura 1.a.[pic 1]

Desplaza en forma periódica entre los dos contactos a una velocidad de fs = 1/T, permaneciendo en contacto la señal de entrada durante  x  segundos y en el contacto conectado a la tierra durante lo que resta de cada período. La salida x,(t) está formada entonces de segmentos cortos de la entrada x(t), como se muestra en la figura 1.b. La figura  1.c es una versión electrónica de la figura 1.a, el voltaje de salida es igual al voltaje de entrada excepto cuando el multivibrador polariza en sentido directo a los diodos y con ello se lleva a la salida a cero. Esta operación, se le designa como de un solo terminal o troceador unipolar, no es un muestreo en el estricto sentido. No obstante, a xs(t) se le designa como la onda muestreada y a f como la frecuencia de muestreo.

Para saber si son suficientes los segmentos muestreados para describir a la señal de entrada original y cómo se debe recuperar x(t) de xs(t), se deben analizar en el dominio de la frecuencia (en el espectro de la onda muestreada).

Como primer paso en la búsqueda del espectro, se introduce una función de conmutación s(t) tal que:

xs(t) =  x(t) s(t)                         (1)

Así, la operación de muestreo viene a ser una multiplicación por s(t), como se indica en forma esquemática en la figura 2.a, donde s(t) no es otra cosa el tren periódico de pulsos de la figura 2.b. Puesto que s(t) es periódico, se le puede escribir como una serie de Fourier.[pic 2]

Entonces se tiene

s(t)  =  Σ  fs τ ej2π fs t

=  co + Σ 2 cn  cos nωst

donde

cn  = fr sen cnfr

ws = 2πfs

Combinando la ecuación (2) con la (1) se obtiene al desarrollo término a término

xs(t) = co x(t) + 2c1 x(t) cos ωst + 2 c2x(t) cos 2wct +...         (3)

Así el espectro de entrada es X( f) = F(x(t)j, el espectro de salida es

Xs(t) = coX(f) + c1 [X(f - fs) + x(f + fs )]+ c2 [X(f - 2fs) + X(f + 2f )] + ....    (4)

lo cual procede en forma directa del teorema de la modulación.

En tanto que la ecuación (4) se presenta bastante confusa, el espectro de la onda muestreada se bosqueja con facilidad si se supone que la señal es de banda limitada, en W. La figura 3 muestra una X( f) conveniente y la correspondiente Xs(f) para dos casos, f > 2W y f<2W. Examinando esta figura se revela que la operación de muestreo ha dejado al espectro del mensaje intacto, repitiéndolo simplemente en forma periódica en el dominio de la frecuencia con un espaciamiento de f,. También se nota que el primer término de la ecuación (4) es precisamente el espectro del mensaje, atenuado por el ciclo de trabajo    co = fs T = τ / Ts .

Si el muestreo conserva al espectro del mensaje, debe ser posible recuperar o reconstruir a x(t) a partir de la onda muestreada xs(t). La técnica de reconstrucción no es completamente obvia en cuanto a las relaciones, del dominio del tiempo, ecuaciones (1) y (3), pero si se observa la figura 3, se nota que a X(f) se le puede separar de X por medio de filtraje pasabajas, siempre y cuando las "bandas laterales" no se traslapen. Y si se filtra a X( f) sola de Xs(f), se ha recuperado a x(t).

[pic 3]

De manera obvia, son necesarias dos condiciones para prevenir el traslape de las bandas laterales: el mensaje debe ser de banda limitada, y la frecuencia de muestreo lo suficientemente grande como para que fs - W > W, esto es,

fs >2W   o    Ts  <  1/2W

A la frecuencia de muestreo mínima   fs min =2W se le conoce como velocidad de Nyquist. Cuando se satisface la ecuación (S) y se filtra a Xs(t) por medio de un filtro pasabajas ideal, la señal de salida será proporcional a x(t); por lo que se ha logrado la reconstrucción del mensaje a partir de la señal muestreada. El valor exacto del ancho de banda del filtro no es dato de importancia mientras el filtro permita el paso de X(f)  y rechace todas las otras componentes, es decir,

W < B <  fs   -  W       (6)

como se desprende de la figura 3.b.

Este análisis muestra que si una señal de banda limitada se muestra a una frecuencia mayor que la velocidad de Nyquist, se le puede reconstruir en forma completa a partir de la onda muestreada. La reconstrucción se concluye empleando filtraje pasabajas.

Por último, se debe puntualizar que estos resultados son independientes de la duración del pulso muestra, salvo cuando aparecen el ciclo de trabajo. Si se hace a t muy pequeña, xs(t) se aproxima a una cadena de puntos muestra instantáneos, la cuál corresponde al muestreo ideal.

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