Probabilidad . Secciones 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4

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PROBABILIDAD

Secciones 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4

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SECCION 3.1

2) Si 41% de los estadounidenses tienen sangre tipo A, 4% tiene el tipo de sangre AB y en la sangre de un soldado estadounidense seleccionado al azar se encuentra el antígeno A, tenemos que encontrar la probabilidad de que su tipo de sangre es A. El antígeno A se encuentra solo en los tipos de sangre A y AB.

Si  la probabilidad condicional de A dado B, denotada por  es[pic 4][pic 5]

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Aquí, deja que x sea el caso de que en la sangre de la seleccionada al azar de un soldado se encuentra el antígeno A y deja que y sea el caso de que el tipo de sangre del soldado es A.

El antígeno A se encuentra solo en los tipos de sangre A y AB, 41% de los estadounidenses tienen el tipo de sangre A y 4% tienen el tipo de sangre AB.

Luego,  [pic 7]

Y [pic 8]

Necesitamos encontrar la probabilidad de que un soldado estadounidense tenga el tipo de sangre A que:

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[pic 10]

Por lo tanto, la probabilidad de que un soldado estadounidense tenga el tipo de sangre A es 0,9111

3) En una escuela tecnica, todos los estudiantes deben tomar calculo y fisica. Las estadisticas muestran que 32% de los estudiantes de esta universidad obtienen A en calculo, y el 20% de ellos obtienen A en calculo y fisica. Gino, un estudiante seleccionado al azar de esta universidad, ha pasado de calculo con una A. Necesitamos encontrar la probabilidad de que obtenga una A en fisica

Si  la probabilidad condicional de A dado B, denotada por  es[pic 11][pic 12]

[pic 13]

Aquí, E Es el evento de que el estudiante obtenga A en calculo y D es el evento de que el estudiante obtenga A en física.

Tenemos un 32% de los estudiantes que obtienen A en calculo y un 20% de los estudiantes obtienen A en calculo y física.

Por lo tanto,

[pic 14]

Necesitamos encontrar la probabilidad de que el estudiante obtenga una A en física que sea

[pic 15]

Por tanto, la probabilidad de que el estudiante obtenga una A en física es 0,625

13) Necesitamos demostrar que si:

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Si  la probabilidad condicional de A dado B, denotada por  es[pic 17][pic 18]

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Tenemos , entonces[pic 20]

[pic 21]

En general

[pic 22]

Esto se puede escribir como

[pic 23]

Usando los axiomas de probabilidad:

1. [pic 24]
2.  donde A es cualquier evento del espacio muestral S, concluimos que[pic 25]

[pic 26]

Por lo tanto, se puede escribir como:[pic 27]

[pic 28]

Como [pic 29]

Ahora,esta escrito como[pic 30]

[pic 31]

Así,

[pic 32]

19) Un jubilado elige todos los días al azar uno de los seis parques de su pueblo y va allí a hacer senderismo. Se nos dice que fue visto en uno de estos parques, Oregón Ridge, una vez durante los últimos 10 días. Necesitamos encontrar la probabilidad de que buscando en este periodo haya caminado en este parque dos o más veces.

Sea A el evento de que durante este período una persona jubilada haya caminado en Oregón Ridge Park al menos una vez. Sea B el evento de que durante este período una persona jubilada haya caminado en este parque al menos dos veces.

Si  la probabilidad condicional de A dado B, denotada por  es[pic 33][pic 34]

[pic 35]

Aquí tenemos

[pic 36]

Ahora,  debido que si ha pasado al menos dos veces ya habrá pasado al menos una vez. Por lo tanto,[pic 37]

[pic 38]

En general [pic 39]

Necesitamos encontrar   tenemos lo siguiente:[pic 40]

Sean  conjuntos con  elementos, respectivamente. Luego,[pic 41][pic 42]

Hay  formas en las que podemos, primero, elegir un elemento de  un elemento de  luego un elemento de  y finalmente un elemento de [pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Aquí,  sea el conjunto de todos los resultados posibles del i-esimo dado.[pic 48]

Como hay seis parques,  donde  representa el primer parque,  representa el segundo parque, así sucesivamente.[pic 49][pic 50][pic 51]

El número de resultados de elegir parque es igual al número de formas en que podemos, primero, elegir un elemento de,  luego un elemento de  y finalmente un elemento de    [pic 52][pic 53][pic 54]

Por lo tanto, obtenemos

[pic 55]

Por lo tanto, el número total de resultados de elegir el parque es [pic 56]

Dado  que durante este periodo no ha caminado en el parque Oregón Ridge,[pic 57]

Entonces  

 [pic 58]

Y  sea el caso de que durante este periodo haya caminado en este parque como máximo una vez, entonces [pic 59][pic 60]

Ahora tenemos

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Por lo tanto, la probabilidad de que durante este período una persona jubilada haya caminado al parque dos o más veces es 0,615

SECCION 3.2

1) En un juicio, el juez está 65% seguro de que Susan ha cometido un delito. Robert es un testigo que sabe si Susan es inocente o culpable. Sin embargo, Robert es amigo de Susan y mentirá con una probabilidad de 0,25 si Susan es culpable. Él le dirá la verdad si ella es inocente. ¿Cuál es la probabilidad de que Robert cometa perjurio?

Sea A el evento de que Susan sea culpable.

Sea B el evento de que Robert mienta.

Las probabilidades de los eventos conocidos son, [pic 67]

Robert mentira con una probabilidad de 0.25 si Susan es culpable, entonces

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El dirá la verdad si ella es inocente, entonces la probabilidad de que Robert cometa perjurio es,

[pic 69]

Por lo tanto, la probabilidad de que Robert cometa perjurio es 0,1625.

5) Hay cinco niños y seis niñas en una clase. Para un examen oral, su profesor los llama uno por uno y al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que los niños y las chicas se alternen? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que llamen primero a los niños? Comparar las respuestas a las partes (a) y (b).

De la pregunta sabemos que hay 6 niñas y 5 niños en una clase, para un examen oral.

Dado que la pregunta dada trata sobre como deben organizarse los estudiantes, usaremos la formula de permutaciones para calcular el número de arreglos posibles,

Representaremos como  a los 5 niños y  a las 6 niñas.[pic 70][pic 71]

1. Ahora, para que los niños y las niñas se organicen alternativamente, debemos usar la probabilidad condicional de llamarlos dado el estudiante anterior que fue llamado. Es decir, si  se llama primero, dada esta probabilidad, necesitamos la probabilidad de llamar a un niño a continuación y, dado estos dos, luego la multiplicamos por la probabilidad de llamar a una niña del resto y así sucesivamente. Esto se puede expresar como: [pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

Por lo tanto, la probabilidad de que los niños y las niñas sean llamados alternativamente para la prueba es, [pic 75]

1. Ahora, la probabilidad de que los niños estén dispuestos antes que las niñas, multiplicamos las probabilidades condicionales de los niños llamados primero dado el estudiante anterior llamado y luego continuamos con las niñas. Es decir, si se llama primero, dada esta probabilidad, necesitamos la probabilidad condicional de llamar a todos los niños a continuación y, dados estos dos, la multiplicamos por la probabilidad condicional de llamar a todas las niñas del resto. Esto se puede mostrar como[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

Por lo tanto, la probabilidad de que los niños sean llamados primero para la prueba es, [pic 79]

Comparación entre el punto a y b, no importa cómo se organicen los estudiantes las probabilidades siempre van a hacer las mismas 0,0022

10) De una baraja ordinaria de 52 cartas, las cartas se extraen una por una, al azar y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto corazón se dibuje en el décimo sorteo?

Sugerencia: Sea F el evento de que en los primeros nueve sorteos hay exactamente tres corazones, y E sea el caso de que el décimo sorteo sea un corazón.

Utilice [pic 80]

Primero encuentre  Como se extraen 9 cartas de 52 cartas, entonces[pic 81]

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En nueve sorteos, hay exactamente 3 corazones.

Por lo tanto, se extraen 3 cartas de los posibles resultados del corazón (13 cartas)

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