Problemas resueltos.
Enviado por Marilyn.24 • 26 de Marzo de 2017 • Tarea • 1.757 Palabras (8 Páginas) • 222 Visitas
Matematicas Especiales
Ejercicios Resueltos
Miguel Angel Uribe
1. Efectue la siguiente operacion:
1 + i
(2 i)(3i)
) Primero se debe operar el denominador:
1 + i
(2 i)(3i)
= 1 + i
3 6i
Enseguida procedemos a hacer la division multiplicando arriba y abajo por el complejo conju-
gado del denominador:
1 + i
(2 i)(3i)
= 1 + i
3 6i
= 1 + i
3 6i
3 + 6i
3 + 6i
=
(1 + i)(3 + 6i)
45
= 3 9i
45
=
1
15
1
5i:
2. Calcule
1
1 + 3i
1
1 3i
) Para resolver el ejercicio se debe llevar a cabo la resta de las fracciones:
1
1 + 3i
1
1 3i
=
1 3i (1 + 3i)
(1 + 3i)(1 3i)
=
6i
10
=
3i
5
Ahora si podemos encontrar el modulo de la fraccion como:
1
1 + 3i
1
1 3i
=
3i
5
=
3i
5
= j3ij
j5j
=
3
5
3. Halle el modulo y el argumento del numero:
(
p
2 +
p
2i)2
) Para determinar el modulo o el argumento se debe representar el numero en la forma x+iy
por lo que es necesario desarrollar el cuadrado:
(
p
2 +
p
2i)2 = 2 + 4i 2 = 4i
4i es un numero puramente imaginario, por lo tanto su modulo es simplemente 4 y el valor
principal del argumento es =2.
1
2 Ejercicios Resueltos Matematicas Especiales
4. Resuelva la ecuacion
zjzj = 2 + i (1)
) Si expresamos z = x + iy y se saca el modulo a ambos lados de la ecuacion se obtiene:
jzjzjj = j2 + ij
jzj2 =
p
4 + 1
x2 + y2 =
p
5 (2)
de donde se obtiene que z debe encontrarse en el plano complejo sobre el crculo centrado en
cero y de radio 51=4. Ahora, para determinar la direccion de z podemos encontrar la razon
entre la parte imaginaria y la parte real a ambos lados de la igualdad (1):
yjzj
xjzj
=
1
2
y
x
=
1
2
x = 2y (3)
la relacion (3) nos determina la direccion del complejo z. Reemplazando (3) en (2) obtenemos
para y:
4y2 + y2 =
p
5
5y2 =
p
5
y2 =
1
p
5
(4)
y = (5)1=4 (5)
reemplazando el resultado (5) en (3) se obtiene para x:
x = 2(5)1=4 (6)
Combinando los resultados (5) y (6) podemos escribir nalmente a z como:
z =
2 + i
51=4
5. Encuentre
3 p
3 + i
) Para determinar la raz primero se debe representar el numero en forma polar el numero
3 + i. Determinemos primero el modulo como:
r =
p
32 + 12 =
p
10
Para determinar el argumento observemos la gura:
Miguel Angel Uribe Laverde 3
Como se observa, el argumento estara dado por
= tan1 1
3
= 0;322
Por lo que se puede escribir entonces:
3 + i =
p
10 (cos 0;322 + i sen 0;322)
Para determinar la raz entonces se puede escribir:
3 p
3 + i = 6 p
10
cos
0;322
3
+
2k
3
+ i sen
0;322
3
+
2k
3
; k = 0; 1; 2
De manera que las 3 soluciones posibles para 3 p
3 + i son:
6 p
10 (cos (0;107) + i sen (0;107)) =1;46 + 0;16i
6 p
10
cos
0;107 +
2
3
+ i sen
0;107 +
2
3
= 0;86 + 1;18i
6 p
10
cos
0;107 +
4
3
+ i sen
0;107 +
4
3
= 0;59 1;34i
Como se observa en la gura, las 3 soluciones se encuentran en el plano complejo sobre el
crculo de radio 6 p
10 y separadas por angulos de 120.
4 Ejercicios Resueltos Matematicas Especiales
6. Calcule:
(1 + i)12
Para encontrar esa potencia es necesario escribir el complejo 1+i en la forma polar, calculando
el modulo se obtiene:
r =
p
1 + 1 =
p
2
Como el numero 1 + i esta en el primer cuadrante, su argumento se puede determinar como:
= tan1 1
1
=
4
Con lo que podemos escribir:
1 + i =
p
2
cos
4
+ i sen
4
Ahora, en esta forma podemos escribir
(1 + i)12 = (
p
2)12
cos 12
4
+ i sen 12
4
= 64 (cos 3 + i sen 3) = 64
7. Encuentre y gra que todos los valores de 4 p
256.
) Lo primero que se debe hacer es encontrar la representacion polar de 256, como este es un
numero real positivo entonces el mismo es su modulo y su argumento principal es nulo:
256 = 256 (cos 0 + i sen 0)
Ahora, podemos encontrar las races cuartas de 256 en forma general como:
4 p
256 = 4 p
256
cos
k
2
+ i sen
k
2
; k = 0; 1; 2; 3:
En donde la raz al lado derecho de la igualdad corresponde a la raz comun de los numeros
reales y esta dada por 4 p
256 = 4, as, las cuatro races cuartas de 256 en los numeros complejos
seran:
4 (cos 0 + i sen 0) = 4
4 = 4
cos
2
+ i sen
2
= 4i
4 = 4 (cos + i sen ) = 4
4 = 4
cos
3
2
+ i sen 0
3
...