Procesos De Renovacion De Markov

>QUE ES UN PROCESO DE RENOVACION?

Un Proceso de Renovacion es una generalizacion de un proceso estocastico

Poisson. Se considera ahora que los tiempos de interarribo no son necesariamente

exponenciales.

A estos procesos de saltos unitarios se les conoce como procesos de renovaci

on. Para abordar el tema es necesario denir un proceso estocastico,

as como proceso estocastico de Poisson para luego continuar con los procesos

de renovacion.

PROCESO ESTOCASTICO

La primera idea basica es identicar un proceso estocastico como una

sucesion de variables aleatorias fX (n) ; n 2 Ng donde el subndice indica el

instante de tiempo correspondiente, esta idea se puede generalizar, permitiendo

que los instantes de tiempo en los que se denen las variables aleatorias

sean continuos. As, se podra hablar de una coleccion o familia de variables

aleatorias fX (t) ; t  0g ; de esta manera nos aproximamos a una denicion

mas formal un proceso estocastico.

Entoces dentro del lenguaje coloquial podemos decir que un proceso estoc

astico es un modelo matematico de un fenomeno aleatorio que evoluciona

a traves del tiempo.

Denicion 1 : Un proceso estocastico es una familia de variables aleatorias

X (t) t2T ; denidas en un espacio de probabilidad (

; ; P) con valores

en un espacio medible (E; ") donde T es cualquier conjunto de ndices o

parametros. Generalmente a T se le llama espacio parametral y a E espacio

de estados.

Si el espacio parametral es un subconjunto de los reales entonces decimos

que el proceso es a tiempo continuo, en el caso que sea T  Z se dice que es

a tiempo discreto, de manera analoga para E, se dice que el procesos tiene

espacio de estado continuo o discreto respectivamente. As, podemos clasi-

car un proceso estocastico de acuerdo a las combinaciones posibles. En lo

que resta trabajaremos con procesos de conteo a tiempo continuo, es decir,

T  R+ y E  N.

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PROCESO DE POISSON

Suponga que un mismo evento ocurre repetidas veces de manera aleatoria

a lo largo del tiempo. Suponga que las variables aleatorias T1; T2; :::representan

los tiempos entre una ocurrencia del evento y la siguiente ocurrencia. Suponga

que estos tiempos son independientes uno del otro, y que cada uno de ellos

tiene distribucion exp(). Se dene el proceso de Poisson al tiempo t como

el numero de ocurrencias del evento que se han observado hasta ese instante

t.

Denicion 2 : Sea T1; T2; ::: una sucesion de v:a:i: con una distribucion

exp() : Entonces el proceso poisson de parametro  es el proceso de tiempo

continuo fN (t) : T1 + ::: + Tn  t ; t  1g.

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