Pruebas Y Refutaciones

PRUEBAS Y REFUTACIONES

MIGUEL ANGEL BARRERA PÉREZ

DOCENTE: FIDEL MOSQUERA MOSQUERA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

CIENCIA Y SOCIEDAD

BOGOTA -JUNIO 2012

Visión sintáctica:

Pruebas y refutaciones es un libro donde se desarrolla una historia exclusivamente interna que pretende una reconstrucción racional del proceso de conjeturas, pruebas y refutaciones que a lo largo del siglo XIX.

Gran parte del libro toma la forma de una discusión entre un profesor y sus alumnos con nombres de las letras del alfabeto griego, representan un amplio espectro de puntos de vista que se puede colocar sobre los temas en cuestión, todos los que participan en la discusión con su profesor. Se proponen varias soluciones para algunos problemas matemáticos e investigar las fortalezas y debilidades de estas soluciones.

También se discute la validez de lo inicial conjetura ingenua de Euler ¿existe una relación entre el numero de vértices V , el numero de aristas ,A, y el numero de caras C, sobre la relación entre vértices, caras y aristas de los poliedros, especialmente de los poliedros regulares , análoga a la relación trivial que hay entre el numero de vértices y las aristas de los polígonos , a saber que hay tantos vértices como aristas=A? .

Esta discusión plantea algunos problemas filosóficos y algunos problemas sobre la naturaleza del descubrimiento matemático o la creatividad. se ilustra el funcionamiento de la matemática denominada informal, que se construye a partir de la formulación de conjeturas, que luego se confirman o refutan a través de pruebas y de contraejemplos respectivamente.

Por ejemplo, la primer “prueba que presenta el maestro en el texto, donde da a conocer un experimento mental que lo define de la siguiente manera: “Paso 1: imaginemos que el poliedro está hueco, con una superficie restante, poniéndola plana sobre el encerado sin romperla. Las caras y aristas se deformarán, las aristas pueden hacerse curvas, pero V y A no se alterarán, de modo que si V-A+C=2 en el poliedro original, en esta red plana tendremos que V-A+C=1(recuérdese que hemos eliminado una cara). (La fig.1 muestra la red plana en el caso de un cubo.) Paso 2: triangulemos ahora nuestro mapa, pues en realidad se asemeja a un mapa geográfico. Trazamos diagonales (tal vez curvilíneas) en esos polígonos (quizás curvilíneos) que no son ya triángulos (posiblemente curvilíneos). Al dibujar cada una de las diagonales, aumentamos tanto A como C en uno, de modo que el total de V-A+C no variará (fig. 2.) Paso 3: Eliminamos ahora los triángulos, uno a uno, de la red triangulada. Para eliminar un triangulo o eliminamos una arista, con lo que desaparece una cara y una arista (fig. 3(a)), o eliminamos dos aristas y un vértice, con lo que desaparece una cara, dos aristas y un vértice (fig. 3(b)). Así pues, si antes de la eliminación de un triangulo teníamos que V-A+C=1, después de eliminarlo seguirá siendo así. Al fin de este proceso obtenemos un solo triángulo, en cuyo caso V-A+C=1 es verdad. Por tanto, hemos probado nuestra conjetura”

De esta forma se inicia o se desprenden diferentes demostraciones que van señalando los alumnos , y van apareciendo contraejemplos denominados como poliedros” no regulares”

En cuanto a la evolución de los conocimientos en situaciones de validación, Lakatos muestra cómo se puede someter a una conjetura a algún tipo de “experimento mental” , que se caracteriza fundamentalmente por descomponer la conjetura primitiva en subconjeturas o lemas que abren nuevas instancias de contrastación. En el libro de referencia, este autor presenta la metodología del descubrimiento matemático mediante la lógica de pruebas y refutaciones, a través del diálogo imaginario entre un profesor y sus alumnos en una instancia de clase en la que se discute la conjetura de Euler. Ilustra el funcionamiento de la matemática desde la formulación de conjeturas, hasta la confirmación o refutación de las mismas. Narra cómo van apareciendo ejemplos que no encajan con la

conjetura o con la prueba (contraejemplos), mostrando su función de falsación o refutación. Considera dos tipos de contraejemplo a los que llama locales y globales.

Un contraejemplo local es aquél que tiene características que hacen que la prueba no sea válida para ese caso, pero que sin embargo verifica la proposición conjeturada. Éstos refutan uno de los lemas, sin refutar la conjetura; critican la prueba puesto que en dicho ejemplo no se cumple una propiedad que se suponía válida. Lo que queda refutado es un lema implícito y por tanto, la prueba.

Un contraejemplo global , por otra parte, es aquél que refuta la propia conjetura. La presencia de contraejemplos globales del teorema produce una tensión entre el concepto, la conjetura y su prueba. Esta tensión afecta a la conjetura o a la prueba, y puede resolverse de distintas maneras, incluso ajustando la definición del concepto o determinando el abandono de la conjetura.

Todo esto permite establecer distintos métodos de trabajo en procura de la validación.

Método de la rendición: determina el rechazo de la conjetura pues el

contraejemplo da por tierra con ella.

Método de exclusión de monstruos: Se rechaza el contraejemplo por

considerarlo no genuino. Se salva la conjetura a partir de una revisión de los conceptos que intervienen en ella, eliminando el contraejemplo como tal.

Método de ajuste de monstruos: Se reinterpreta el contraejemplo y se lo

incluye como ejemplo. Parafraseando a Lakatos, solo hay una interpretación

monstruosa y no un monstruo. Se mantiene la conjetura.

Método de exclusión de excepciones: Aceptación del contraejemplo, se

modifica la conjetura. Se considera al contraejemplo como una excepción,

restringiendo el dominio de validez de la conjetura.

Método de incorporación de lemas: Aceptación del contraejemplo. Se

modifica la conjetura a partir de la prueba, identificando el lema (explícito o

implícito) que es refutado por el contraejemplo e incorporando a la conjetura la

condición implícita en el lema. Se mantiene la prueba, reduciendo el dominio de

la conjetura al dominio propio del “lema culpable”.

Las

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