¿Qué Es La Matemática?

Sobre el concepto de matemática.

“La matemática es ciencia de representaciones, de esquemas, de abstracciones. Nutriéndose de contenidos conceptuales, para manejarlos y relacionarlos con comodidad y rapidez, se vale de símbolos, es decir, de representaciones formales de los mismos, y traduce los juicios lógicos que relacionan dichos conceptos mediante leyes formales entre sus símbolos representativos: y esto de tal forma que, combinando con corrección tales transformaciones, acaba el matemático olvidándose de los contenidos conceptuales. Descansando dichos contenidos en las simbólicas que sabe le conducirán a resultados infalibles, por ser traducción de las leyes del razonamiento matemático.

Todo el proceso de condensación simbólica y formalización del razonamiento han hecho posible toda la progresión de abstracciones y generalizaciones crecientes que constituye la matemática de hoy. Los conceptos expresados mediante formas nuevas engendran a su vez nuevos conceptos, que inmediatamente necesitan de nuevas formas de simbolización, y este proceso se repite así sucesivamente e indefinidamente

La idea de número.

El número es una abstracción. Los números no tienen existencia real. Los números son propiedades, pero se trata de propiedades relativas a conjuntos de objeto, no a los objetos mismos. La propiedad asignada por el vocablo <<dos>> no podrá aplicarse nunca a objetos definido, a sucesos o entidades de cualquier naturaleza, sino solamente a los conjuntos de tales objetos, sucesos o entidades. Por ello existe un mundo intermedio entre el de los objetos y el de los números, a saber el mundo de los conjuntos.

Observación sobre conjuntos.

Los conjuntos están constituidos por elementos. El conjunto de niños de la clase de primer año tiene por elementos los niños de esta clase. Los conjuntos pueden estar formados por no importa qué tipo de elemento: objetos, sucesos, ideas e incluso por otros conjuntos. La idea de <<pertenece a>> o de <<ser un elemento de>> es un concepto muy importante cuando se habla de conjuntos. Antes de poder decir que un conjunto está definido, importa precisar con claridad no sólo de que elementos está formado, sino también cuales son todos los objetos (incluso aunque no existan más que en el pensamiento), que podrían ser elementos del conjunto en cuestión. Si consideramos, por ejemplo; el conjunto formado por niños que tienen los ojos azules, suponemos implícitamente que ningún adulto podrá pretender formar parte de este conjunto. Esto lleva consigo el que debamos reconocer con certeza en qué momento un niño deja de serlo para convertirse en adulto. Será necesario del mismo modo precisar si pensamos en los niños de ojos azules que se encuentran en la clase, en la escuela, en el país o en todo el mundo.

Será necesario indicar el universo de los objetos susceptibles de entrar en la constitución del conjunto, antes de poder decir que un atributo tal como <<niño de ojos azules>> define un conjunto.

Esta dificultad no se presenta si definimos nuestro conjunto enumerando todos sus elementos. Reaparece si nos ponemos a hablar de un conjunto formado por entidades que no pertenecen a un conjunto dado. Definamos un conjunto formado por dos niños, por ejemplo, Juan y Alicia; ¿Cuáles son entonces los elementos del conjunto al que no pertenecen Juan y Alicia? ¿Qué elementos debemos incluir en él? ¿Será necesario incluir en el al monte Everest?. Si no incluimos más que a niños, ¿A qué niños? Si el universo está definido como todos los niños de la clase, entonces el conjunto en cuestión estará formado por todos los niños de la clase a excepción de Juan y Alicia. Este es el complemento del conjunto que tiene por elementos a Juan y Alicia.

El segundo punto a analizar se refiere a la distinción entre el símbolo y lo que está simbolizado. Tomemos un conjunto, por ejemplo, Juan y Alicia, y situemos las dos imágenes en un paréntesis (mejor entre dos corchetes) para indicar que se trata de los elementos de un conjunto. ¿Pero de qué se trata?. No son las imágenes, sino los mismos niños los que

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