ROTACIONES EN EL PLANO COMO OBJETO DE APRENDIZAJE ESCOLAR

ROTACIONES EN EL PLANO COMO OBJETO DE APRENDIZAJE ESCOLAR

Actividad 1

En el siguiente cuadro la figura dada (el conejo gris) se rota en torno al punto O en 90º. Dibuje el conejo en la posición final.

Ahora instale un sistema de coordenada cartesianas con su origen en O y considere que ese movimiento afecta a todo el plano.

a) ¿En qué posición va a quedar el punto Q( 2, 4 )?

b) ¿En qué posición va a quedar el punto D( 2, -5 )?

c) ¿En qué posición va a quedar un punto P( x, y )?

d) La rotación que se está considerando permite definir una función de IR2 en IR2 que hace corresponder a un par de números reales, coordenadas de un punto P, el par de números reales que constituyen las coordenadas del punto donde va a instalarse P después de la rotación. Complete la siguiente definición de esa función:

R : IR2 IR2

( x , y ) ( .......... , ............ )

Actividad 2

a) Realice la actividad 1, pero considerando una rotación en 60º en torno a O.

b) Realice la actividad 1, pero considerando una rotación en 120° (180°) en torno a O.

DOCUMENTO SOBRE ROTACIONES EN TORNO AL ORIGEN

Sea R la función de IR2 en IR2 definida por una rotación en un ángulo  en torno al origen O de un sistema de coordenadas cartesianas.

Sea P un punto de coordenadas x e y con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en un punto O.

Sea P' un punto de coordenadas x' e y' que es la imagen de P bajo la acción de la rotación: R ((x,y)) = (x',y')

Sea  el ángulo formado el rayo con el semi-eje positivo del eje de las abscisas.

Sea  la distancia desde O hasta P que coincide con la distancia desde O hasta P'.

Entonces x =  cos  e y =  sen 

x' =  cos ( +  ) = ( cos  cos  - sen  sen  ) =  cos  cos  -  sen  sen 

x' = x cos  - y sen 

y' =  sen ( +  ) = ( sen  cos  + cos  sen  ) =  sen  cos  +  cos  sen 

y' = y cos  + x sen 

Así: R : IR2 IR2

( x , y ) (x cos  - y sen  , y cos  + x sen  )

EJERCICIO 3

Determine R ( (2, ) ) cuando O' = (2,5)

ROTACIONES EN TORNO A UN PUNTO DIFERENTE DEL ORIGEN

Sean O y O' puntos distintos del plano. O puede ser el origen de un sistema de coordenadas cartesianas.

Si P un punto cualquiera del plano,

O'P//OV, O'Q//OH

VP // OO' // HQ,

VOH = 

y Q := R (P)

Entonces:

T R T (P)

= T (R (T (P)))

= T (R (V))

= T (H) = Q

R (P) = T R T (P)

R = T R T

EJERCICIO 4

Visualice lo anterior, usando un software geométrico, para el caso en que  mide 60º , eligiendo P y O' como puntos que puedan moverse a voluntad.

...