Relaciones y comparaciones entre sucesos

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD                                                                            Prof. Fernando Montilla

Relaciones y comparaciones entre sucesos

        Revisaremos en primer término las comparaciones de sucesos mediante las relaciones de inclusión e igualdad.

        Definición (relación de inclusión): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. En general, se dice que A está incluido en B (o bien, que A es un subconjunto de B), y se simboliza por A ⊂ B, si cada elemento de A es también un elemento de B.

        En símbolos:

A ⊂ B ⇔ a ∈ A ⇒ a ∈ B^[1]

        Si el suceso A no esta incluido en B, existe al menos un elemento de A que no pertenece a B. Esto se indica por A ⊄ B, y se debe a que existe a ∈ A y a ∉ B.

Ejemplo 1. El suceso E está incluido en el suceso A, pues el resultado experimental (1,1), para el cual se verifica el suceso E: “la suma de los puntos es a lo más igual a 2”, está contenido en el suceso A: “el mayor puntaje obtenido en los dos dados es máximo 3” constituido  por los elementos (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) y (3,3). En consecuencia, E ⊂ A.

        Definición (relación de igualdad): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que dos sucesos A y B son iguales, y se escribe A = B, si y sólo si cada elemento de un suceso es también un elemento del otro suceso. Simbólicamente:

A = B es equivalente a  [pic 1]

        Considerando cada una de estas relaciones y recurriendo a la definición de inclusión se tiene:

[pic 2]

        Resumiendo  las  expresiones  (1) y (2) se concluye que A = B implica que A ⊂ B y que B ⊂ A, y recíprocamente A ⊂ B y B ⊂ A implican que A = B^[2]. Por lo tanto, dos sucesos son iguales si cada uno está incluido en el otro (es decir, si cada uno es subconjunto del otro).

Ejemplo 2. A partir del ejemplo que venimos considerando, definamos el suceso G como:

G = “se obtiene el número 1 en ambos dados”

La imagen matemática correspondiente a este suceso es:

G = {(1,1)}

con un tamaño de n(G) = 1 (suceso simple).

Si  comparamos el suceso G con el suceso E, se verifica que E ⊂ G y G ⊂ E, lo que implica que E y G son sucesos iguales, es decir:

E = G

Del comentario anterior podemos obtener otras conclusiones interesantes:

        Definición (relación de inclusión impropia): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Si A está incluido en B (es decir, A es un subconjunto de B), y no existen en B elementos que no pertenezcan a A, se dice que la relación de inclusión entre los sucesos A y B es impropia, es decir A está contenido en B y además es igual a B.

El ejemplo 2 que acabamos de considerar corresponde a un caso de este tipo. Otro ejemplo importante es al considerar al espacio muestral S como el suceso S (como un subconjunto de S).

Definición (relación de inclusión propia): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Si A está incluido en B (es decir, A es un subconjunto de B), y existen en B elementos que no pertenezcan a A, se dice que la relación de inclusión entre los sucesos A y B es propia, y se la simboliza mediante A ⊆ B.

El ejemplo 1 considerado en esta sección, corresponde a un caso de este tipo.

Para completar las alternativas de comparación de sucesos, nos falta considerar otras dos situaciones posibles: la primera, aquella en la cual los sucesos A y B no tienen elementos comunes; y la segunda, cuando cada uno de los sucesos, contiene al menos un elemento no común con el otro suceso.

Definición (sucesos mutuamente excluyentes): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes, cuando carecen de elementos comunes, es decir, si A ∩ B = ∅.

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