Relatividad moderna (Relatividad Especial)
Benjamin hiram Morales MoralesApuntes6 de Junio de 2023
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RELATIVIDAD MODERNA (Relatividad Especial)
C.O. Dib∗, apuntes para la asignatura FIS-140, UTFSM
Depto de F´ısica, Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa, Valpara´ıso, Chile
(Dated: Abril 2009)
Esta es una versi´on preliminar, de modo que l´eala en forma cr´ıtica. Si tiene comentarios o correc- ciones, informe a su profesor[1].
- INTRODUCCIO´N
- Qu´e es la Teor´ıa de la Relatividad
E´sta es la teor´ıa moderna de la Meca´nica, o F´ısica del Movimiento. Como teor´ıa fue desarrollada principal- mente por H. Lorentz, H. Minkowski y A. Einstein en trabajos pioneros a principios del siglo XX. Un excelente resumen del tema fue escrito por W. Pauli[2]. Algunos art´ıculos originales aparecen en [3]. Discusiones m´as pro- fundas aparecen en [4], muchas de ellas fuera de la cober- tura de este curso.
Se le llama Teor´ıa de la Relatividad porque se basa en la idea de que el movimiento es relativo al observador y no algo definido en forma absoluta. Existen dos avances de la Teor´ıa: el primero, llamado Relatividad Especial, trata de movimientos vistos en sistemas inerciales; el segundo, llamado Relatividad General, incluye el movimiento visto en cualquier sistema (inercial o no) y el efecto de la grav- itacio´n. En este curso, s´olo veremos la Relatividad Espe- cial.
- Una contradiccio´n el´ectromagn´etica
Las leyes del electromagnetismo dadas por las ecua- ciones de Maxwell predicen la existencia de ondas el´ectromagn´eticas, que se propagan con velocidad
1
c = √µ0ϵ0 = 299.792.458 m/s (1)[pic 1]
Esto es raro: esta velocidad es una constante absoluta, que no parece depender del observador. En general, los campos el´ectricos y magn´eticos que mide un observador no son iguales a los que mide otro observador, movi´endose respecto al primero. Esto lo veremos en el ejemplo de m´as abajo.
Sin embargo, au´n cuando los campos medidos por uno u otro observador puedan ser distintos, cada observador
[pic 2]
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deducira´ que los campos que ´el mide obedecen las mis- mas ecuaciones din´amicas (las ecuaciones de Maxwell). Por ejemplo, si un observador mide campos el´ectrico y magn´etico E→ (→r, t) y B→ (→r, t), respectivamente, deducira´ la ley:
∇× E→ (→r, t) = − ∂B→ (→r, t) , (2)[pic 3][pic 4]
mientras que otro, en movimiento relativo respecto al an- terior, medir´a, para el mismo sistema f´ısico, otros valores para los campos, E→ ′(→r′, t′) y B→ ′(→r′, t′), respectivamente. Sin embargo, deducira´ una ley de Faraday exactamente
igual a la anterior, en t´erminos de sus campos y coorde- nadas (denotadas con primas).
Esto implica dos aparentes paradojas: (i) el valor de la velocidad de las ondas electromagn´eticas (luz) parece ser independiente del observador, de acuerdo a la ecuaci´on
(1) (los valores µ0 y ϵ0 son constantes universales); (ii) la fuerza de Lorentz (fuerza sobre cargas el´ectricas debido a los campos) parece depender del observador, como ver- emos en el siguiente ejemplo:[pic 5]
v[pic 6]
v[pic 7]
FIG. 1: Dos alambres rectos paralelos, con densidad de carga lineal +ρ, se repelen por interacci´on el´ectrica, pero si se ven en movimiento longitudinal, aparece adem´as una fuerza magn´etica de atracci´on.
EJEMPLO: Considere dos conductores rectos, paralelos, separados en una distancia r, con una densidad lineal de carga el´ectrica ρ cada uno. Para un observador en reposo relativo a los conductores, los campos el´ectrico y magn´etico debido a uno de los conductores en la posici´on del otro, tienen los respectivos valores:
E(r) = 2πϵ0r, B(r) = 0. (3)[pic 8][pic 9]
Esto significa que hay una fuerza de repulsio´n entre los
conductores que, por unidad de longitud, es:
ρ2
F/L = 2πϵ0r. (4)[pic 10]
En cambio, para un observador que ve estos conductores movi´endose longitudinalmente con velocidad V , ´estos no s´olo tienen una densidad de carga como la anterior, sino tambi´en una corriente el´ectrica I = ρV . Por lo mismo, no s´olo habra´ un campo el´ectrico como el anterior, sino tambi´en un campo magn´etico no nulo. En efecto, el campo magn´etico debido a un conductor en la posici´on del otro es:
B(r) = µ0ρV . (5)
2πr
Sea un sistema de referencia inercial S, desde el cual observamos el movimiento de una part´ıcula. Sea →v la velocidad de esa part´ıcula, observada desde S.
El movimiento es siempre relativo al observador. En par- ticular, la velocidad de la part´ıcula no es absoluta, sino que depende del observador.
As´ı, en otro sistema de referencia inercial, S ′, que se mueve con velocidad V respecto a S, la velocidad de la misma part´ıcula es diferente: segu´n la Relatividad de Galileo, ´esta es:
→v ′ = →v − V→ . (7)
En consecuencia, la fuerza (por unidad de longitud) en- tre los conductores tiene una contribucio´n magn´etica de atracci´on, y por lo tanto la fuerza neta entre los conduc- tores que mide este observador es distinta a la expresi´on anterior:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
ρ2 F/L = 2πϵ0r[pic 18]
V 2
— c2[pic 19][pic 20]
. (6)
FIG. 2: Movimiento de una part´ıcula y de un observador S ′, ambos vistos por un observador S. Con qu´e velocidad se mueve la part´ıcula segu´n el observador S ′?
Esto es raro: si los dos observadores miden fuerzas dis- tintas, los conductores se ir´an separando con mayor o menor aceleraci´on, segu´n uno u otro observador. M´as au´n, si V c la fuerza tiende a cero, es decir en tal caso los conductores no se tienden a separar. Pero c´omo puede ser que los conductores en verdad se separen o no, dependiendo de quien los vea? Acaso los sistemas iner- ciales no deber´ıan todos medir la misma aceleraci´on? Eso es b´asico en las leyes de Newton! Qu´e est´a pasando?[pic 21]
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