Relatividad moderna (Relatividad Especial)

RELATIVIDAD MODERNA (Relatividad Especial)

C.O. Dib∗,  apuntes  para  la  asignatura  FIS-140,  UTFSM

Depto  de  F´ısica,  Universidad  T´ecnica  Federico  Santa  Mar´ıa,  Valpara´ıso,  Chile

(Dated: Abril 2009)

Esta  es  una  versi´on  preliminar,  de  modo  que  l´eala  en  forma  cr´ıtica.  Si  tiene  comentarios  o  correc- ciones, informe a su profesor[1].

1. INTRODUCCIO´N

1. Qu´e  es  la  Teor´ıa  de  la  Relatividad

E´sta  es  la  teor´ıa  moderna  de  la  Meca´nica,  o  F´ısica  del Movimiento. Como teor´ıa fue desarrollada principal- mente por H. Lorentz, H. Minkowski y A. Einstein en trabajos pioneros a principios del siglo XX. Un excelente resumen del tema fue escrito por W. Pauli[2]. Algunos art´ıculos originales aparecen en [3].  Discusiones m´as pro- fundas aparecen en [4], muchas de ellas fuera de la cober- tura de este curso.

Se le llama Teor´ıa de la Relatividad porque se basa en la idea de que el movimiento es relativo al observador y no algo definido en forma absoluta. Existen dos avances de la Teor´ıa: el primero, llamado Relatividad Especial, trata de movimientos vistos en sistemas inerciales; el segundo, llamado Relatividad General, incluye el movimiento visto en cualquier sistema (inercial o no) y el efecto de la grav- itacio´n.  En este curso, s´olo veremos la Relatividad Espe- cial.

1. Una  contradiccio´n  el´ectromagn´etica

Las leyes del electromagnetismo dadas por las ecua- ciones de Maxwell predicen la existencia de ondas el´ectromagn´eticas,  que  se  propagan  con  velocidad

1

c = √µ0ϵ0  = 299.792.458 m/s        (1)[pic 1]

Esto es raro: esta velocidad es una constante absoluta, que no parece depender del observador. En general, los campos  el´ectricos  y  magn´eticos  que  mide  un  observador no son iguales a los que mide otro observador, movi´endose respecto al primero.  Esto lo veremos en el ejemplo de m´as abajo.

Sin  embargo,  au´n  cuando  los  campos  medidos  por  uno u otro observador puedan ser distintos, cada observador

[pic 2]

∗Derechos  reservados.    Reproducci´on  total  o  parcial  del  material requiere permiso del autor.

deducira´  que  los  campos  que  ´el  mide  obedecen  las  mis- mas  ecuaciones  din´amicas  (las  ecuaciones  de  Maxwell). Por  ejemplo,  si  un  observador  mide  campos  el´ectrico  y magn´etico E→ (→r, t) y B→ (→r, t), respectivamente, deducira´ la ley:

∇× E→ (→r, t) = − ∂B→ (→r, t) ,        (2)[pic 3][pic 4]

mientras que otro, en movimiento relativo respecto al an- terior, medir´a, para el mismo sistema f´ısico, otros valores para  los  campos,  E→ ′(→r′, t′) y  B→ ′(→r′, t′),  respectivamente. Sin  embargo,  deducira´  una  ley  de  Faraday  exactamente

igual  a  la  anterior,  en  t´erminos  de  sus  campos  y  coorde- nadas (denotadas con primas).

Esto implica dos aparentes paradojas: (i) el valor de la velocidad de las ondas electromagn´eticas (luz) parece ser independiente  del  observador,  de  acuerdo  a  la  ecuaci´on

(1) (los valores µ0 y ϵ0 son constantes universales); (ii) la fuerza  de  Lorentz  (fuerza  sobre  cargas  el´ectricas  debido a los campos) parece depender del observador, como ver- emos en el siguiente ejemplo:[pic 5]

v[pic 6]

v[pic 7]

FIG. 1: Dos alambres rectos paralelos, con densidad de carga lineal   +ρ,   se   repelen   por   interacci´on   el´ectrica,   pero   si   se ven  en  movimiento  longitudinal,  aparece  adem´as  una  fuerza magn´etica  de  atracci´on.

EJEMPLO: Considere dos conductores rectos, paralelos, separados en una distancia r, con una densidad lineal de  carga  el´ectrica  ρ  cada  uno.    Para  un  observador  en reposo  relativo  a  los  conductores,  los  campos  el´ectrico  y magn´etico debido a uno  de los conductores en la posici´on del otro, tienen los respectivos valores:

E(r) = 2πϵ0r,        B(r) = 0.        (3)[pic 8][pic 9]

Esto  significa  que  hay  una  fuerza  de  repulsio´n  entre  los

conductores que, por unidad de longitud, es:

ρ2

F/L = 2πϵ0r.        (4)[pic 10]

En cambio, para un observador que ve estos conductores movi´endose longitudinalmente con velocidad V , ´estos no s´olo  tienen  una  densidad  de  carga  como  la  anterior,  sino tambi´en  una  corriente  el´ectrica  I  =  ρV .   Por  lo  mismo, no  s´olo  habra´  un  campo  el´ectrico  como  el  anterior,  sino tambi´en  un  campo  magn´etico  no  nulo.     En  efecto,   el campo  magn´etico  debido  a  un  conductor  en  la  posici´on del otro es:

B(r) = µ0ρV .        (5)

2πr

Sea un sistema de referencia inercial S, desde el cual observamos  el  movimiento  de  una  part´ıcula.    Sea  →v  la velocidad de esa part´ıcula, observada desde S.

El movimiento es siempre relativo al observador. En par- ticular, la velocidad de la part´ıcula no es absoluta, sino que depende del observador.

As´ı, en otro sistema de referencia inercial, S ′, que se mueve con velocidad V respecto a S, la velocidad de la misma  part´ıcula  es  diferente:   segu´n  la  Relatividad  de Galileo, ´esta  es:

→v ′ = →v − V→ .        (7)

En consecuencia, la fuerza (por unidad de longitud) en- tre  los  conductores  tiene  una  contribucio´n  magn´etica  de atracci´on, y por lo tanto la fuerza neta entre los conduc- tores que mide este observador es distinta a la expresi´on anterior:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

ρ2 F/L = 2πϵ0r[pic 18]

V 2

— c2[pic 19][pic 20]

.        (6)

FIG. 2: Movimiento de una part´ıcula y de un observador S ′, ambos  vistos  por  un  observador  S.    Con  qu´e  velocidad  se mueve  la  part´ıcula  segu´n  el  observador  S ′?

Esto es raro: si los dos observadores miden fuerzas dis- tintas,  los  conductores  se  ir´an  separando  con  mayor  o menor  aceleraci´on,  segu´n  uno  u  otro  observador.    M´as au´n,  si  V         c  la  fuerza  tiende  a  cero,  es  decir  en  tal caso los conductores no se tienden a separar.  Pero c´omo puede ser que los conductores en verdad se separen o no, dependiendo de quien los vea? Acaso los sistemas iner- ciales no deber´ıan todos medir la misma aceleraci´on?  Eso es  b´asico  en  las  leyes  de  Newton!  Qu´e  est´a  pasando?[pic 21]

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