Reporte: Curvas de Bézier

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Resumen.

Como parte del temario de cálculo vectorial, correspondiente a la unidad 3, es hora de analizar las curvas de Bézier. En este documento reportaremos, como es que dados ciertos puntos de control se obtiene una gráfica en forma de curva, en la cual se señalan los puntos de curvatura máximo, con su respectivo valor.

Introducción.

A continuación, desarrollaremos los puntos de control los cuales formaran la curva de Bézier, para ello utilizamos el programa Matlab.

Dado los puntos de control, procedemos a calcular la ecuación de x, y, z.  ya que, con dichos valores obtenidos, continuamos con las derivadas respecto de t. para ello tenemos que ir realizando nuestros propios cálculos a mano, ya que esto facilitara meter los cálculos a Matlab. Pero como no todos los valores son fáciles de encontrar a mano, debemos de calcularlos con ayuda del programa. Además, se presentarán los códigos de matad, así como resultados y graficas de cada paso que se va realizando.

Marco teórico.

Matlab

Es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows, Mac OS X y GNU/Linux .

Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.

Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.

Curvas De Bézier

La primera versión de las curvas de Bézier fue en realidad tridimensional, un esquema basado en curvas cuadráticas construidas dentro de un cubo, método que le permitirá describir cualquier curva de grado 2 a partir de sólo cuatro puntos.

El método parte por describir una curva usando ecuaciones paramétricas de la forma y = x2. Luego, al transformar el cubo en un paralelepípedo cualquiera, la curva se transformará también. Así, los puntos de control son los vértices de un paralelepípedo imaginario.

Con el tiempo este esquema se simplificará más, de manera que pueda describir curvas cuadráticas a partir de sólo tres puntos, y como veremos más adelante, curvas de grado n con sólo n+1 puntos.

Desarrollo del problema.

Dibuja la gráfica de la curva de Bézier cuyos puntos de control aparecen a continuación:

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Dado los puntos de control se realiza la parametrización; es decir;

Parametrización; [pic 3]

Se ocupara el método del triángulo de pascal, Este triángulo fue ideado para desarrollar las potencias de binomios. Las potencias de binomios vienen dadas por la fórmula: , dónde a y b son variables cualesquiera y nel exponente que define la potencia. Esta expresión se denomina binomio de Newton.[pic 4]

Esta fórmula del binomio de Newton desarrolla los coeficientes de cada fila en el triángulo de Pascal. Es por esto que existe una estrecha relación entre el triángulo de Pascal y los binomios de Newton.

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Ilustración 1 Curvas de Bézier.

Calculo de K:

• Una vez que se obtienen las ecuaciones de x, y, z. se calculan sus derivadas respecto de t.

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• Una vez que se calcularon las derivadas, continuamos con el valor de longitud de arco; que se obtiene con la siguiente formula.

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• Posteriormente calculamos la derivada de x, y, z respecto de s.

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• Para el tercer paso, se utiliza la siguiente ecuación con su respectiva sustitución.

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• Ya para concluir con nuestro ejercicio se calcula la curvatura máxima de la gráfica.

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Para la representación de k se tuvo que usar el programa de Matlab que a continuación se les mostrara.

Representación en Matlab.

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Ilustración 2 Representación del punto máximo.

Sol =

   0.2253 + 0.0000i

   0.4282 + 0.0000i

   0.6845 + 0.0000i Máximo.

   0.5116 - 0.3986i

   0.5116 + 0.3986i

Código.

syms t

x=3*t.^3+30*t.^2.*(1-t)+12*t.*(1-t).^2+3*(1-t).^3;

y=4*t.^3+6*t.^2.*(1-t)+15*t.*(1-t).^2+4*(1-t).^3;

z=-2*t.^3-3*t.^2.*(1-t)-21*t.*(1-t).^2-2*(1-t).^3;

dx_ds=simplify(diff(x,t)/sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2));

dy_ds=simplify(diff(y,t)/sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2));

dz_ds=simplify(diff(z,t)/sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2));

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