Resolucion De Circuitos Por Mallas Y Nudos

Ejercicio 1:

a) y c) Escribir las ecuaciones de malla y resolverlas por el método que se crea más conveniente:

La segunda Ley de Kirchoff dice que a lo largo de toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial es igual a cero.

En este caso tenemos dos mallas. Suponemos los siguientes sentidos para las corrientes en cada una de las mallas:

Siendo los valores de V1 = 14V, V2 = 9,5V, R1 = R3 = 0,5Ω, R2 = 3,5Ω, R4 = 5,5Ω, R5 = 2Ω.

El convenio de signos adoptado es el explicado en los apuntes, por lo que en las R, como se trata de una caída de tensión, consideraremos una tensión negativa. En los generadores la tensión será positiva si la corriente sale por el + (entendiendo + como el polo positivo del generador y – como el polo negativo) y negativa si sale por –.

En R3 y R4 la I que circula será (I1+I2) puesto que ambas van en el mismo sentido.

Malla1: – (I1•R2) + V1 – (I1•R1) – (R4•(I1+I2)) – (R3•(I1+I2)) – V2 = 0 →

Introduciendo los valores del enunciado en esta ecuación tenemos que →

– 3,5•I1 + 14 – 0,5•I1 – 5,5•I1 – 5,5•I2 – 0,5•I1 – 0,5•I2 – 9,5 = 0 →

4,5 – (10•I1) – (6•I2) = 0 →

De aquí despejamos I1 para dejarla en función de I2 →

I1 = 4,5 – (6•I2) A

10

Malla 2: – (I2•R5) – (R4•(I2 + I1)) – (R3•(I2 + I1)) – V2 = 0 →

Introduciendo los valores del enunciado en esta ecuación tenemos que →

– 2•I2 – (5,5•I2) – (5,5•I1) – (0,5•I2) – (0,5•I1) – 9,5 = 0 →

– 9,5 – (6•I1) – (8•I2) = 0

Ahora introducimos en la segunda ecuación el valor de I1 que despejamos de la primera ecuación (Puesto que estaba en función de I2 y así la segunda ecuación nos quedará sólo en función de I2 y podremos calcular su valor). Nos queda que:

– 9,5 – 6•(4,5 – (6•I2)) – (8•I2) = 0 → – 9,5 + (36•I2 – 27) – 8•I2 = 0 →

10 10

– 95 – 27 + 36•I2 – 80•I2 = 0 → – 122 – 44•I2 = 0 → I2 = – 122 = – 2,773 A

10 44

Ahora introducimos este valor de I2 en la I1 que despejamos de la ecuación de la primera malla y tenemos que:

I1 = 2,114 A

De aquí podemos saber ya la corriente en cada resistencia, quedándonos que:

IR1 = IR2 = I1 = 2,114 A

IR3 = IR4 = (I1 + I2) = 2,114 + (–2,773) = – 0,659 A

IR5 = I2 = – 2,773 A

Como IR3, IR4 e IR5 nos han salido negativas nos indica que son al revés de como las hemos supuesto, por lo que las corrientes en el circuito se reparten así:

b) y c) Escribir las ecuaciones de nudo y resolverlas por el método que se crea más conveniente:

La primera Ley de Kirchoff dice que en todo circuito eléctrico la suma algebraica de las corrientes que concurren en un nudo es igual a cero.

Vamos a situar el punto A y B en el circuito, y a establecer el sentido de las corrientes en cada rama (vamos a utilizar el sentido obtenido en el apartado anterior y veremos que todas nos salen positivas, lo que indicará que el sentido que hemos calculado en el apartado anterior es el correcto) de la siguiente manera:

Donde ya vemos que aplicando la primera Ley de Kirchoff tenemos que: I1 + I2 + (– I3) = 0 → o lo que es lo mismo → I1 + I2 = I3

El convenio de signos adoptado es el explicado en los apuntes, por lo que las corrientes que entran en un nudo serán positivas y las que salen negativas, en las R consideramos una caída de tensión negativa si la corriente entra por el – y positiva si entra por el signo +, y en los generadores consideraremos una caída de tensión positiva si el terminal – está mas cercano al punto de referencia (B) y negativa si el terminal + es el que está mas cerca del punto de referencia (B)

Rama 1: VA – VB = – (I1•R2) + V1 – (I1•R1) →

Sustituyendo los valores dados en el enunciado tenemos que →

VA – VB = – (3,5•I1) + 14 – (0,5•I1) → VA – VB = 14 – 4•I1

Como VB = 0, despejamos I1 en función de VA, quedándonos que:

I1 = 14 – VA

4

Rama 2: VA – VB = V2 – (I2•R3) – (I2•R4) →

Sustituyendo los valores dados en el enunciado tenemos que →

VA – VB = 9,5 – (0,5•I2) – (5,5•I2) → VA – VB = 9.5 – 6•I2

Como VB = 0, despejamos I2 en función de VA, quedándonos que:

I2 = 9.5 – VA

6

Rama 3: VA – VB = + (I3•R5) →

Sustituyendo los valores dados en el enunciado tenemos que →

VA – VB = (2•I3)

Como VB = 0, despejamos I3 en función de VA, quedándonos que:

I3 = VA

2

Hemos despejado las In dejándolas en función de VA. Ahora sustituyendo en la ecuación de nudo podemos calcular VA y luego los valores de cada In:

I1 + I2 + (– I3) = 0 → Sustituimos por los valores de I1, I2 e I3 →

14 – VA + 9,5 – VA – VA = 0 → 84 – 6VA + 38 – 4VA – 12VA = 0 →

4 6 2 24

122 – 22VA = 0 → VA = 5,545 V.

24

Ya podemos calcular el valor de las In sustituyendo el valor VA, y nos queda que:

I1 = 2,114 A → IR1 = IR2 = I1

I2 = 0,659 A → IR3 = IR4 = I2

I3 = 2,773 A → IR5 = I3

Como todas nos han salido positivas significa que el sentido que hemos supuesto al principio para las corrientes es el correcto.

Recordemos que hemos supuesto el sentido que nos indicaba la resolución del apartado a) por mallas, y como coinciden hemos comprobado que efectivamente los cálculos están bien y las corrientes circulan en esos sentidos con esas intensidades.

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