SIMULACION DEL MOVIMIENTO DE UN PÉNDULO DOBLE EN UN MEDIO VISCOSO

SIMULACION DEL MOVIMIENTO DE UN PÉNDULO DOBLE EN UN MEDIO VISCOSO

Nombre: Luis Quilligana

Curso: tercero “B”

Código:7598

1. INTRODUCCION

1.1. MECÁNICA LAGRANGIANA

Este proyecto se lo ha realizado con la finalidad de aplicar nuestros conocimientos adquiridos en la clase de análisis matemático”3”, el mismo que consta en la resolución y modelamiento de ecuaciones diferenciales con el uso de software, de esta manera llegamos a distinguir los movimientos descritos por dichas ecuaciones evaluadas, además mediante un ejemplo comprenderemos la importancia del mismo en el ámbito cotidiano e industrial, y el uso con diferentes campos matemáticos.

Mediante el uso de nuestras habilidades de desarrollar ecuaciones diferenciales obtenidos hasta este momento, tratar de dar solución a las ecuaciones propuestas en este proyecto, y de esta manera las gráficas   nos facilitara identificar en las cuáles nomas serán los puntos de oscilación de dicha ecuación estudiada, y con si demostrar que toda masa regresa a su posición inicial debido al coeficiente de viscosidad del medio que se realice a práctica.

El mismo que se utilizaran diferentes métodos de resolución entre ellos será recomendable utilizar la Ecuación de Euler LaGrange o conservación de energías interviniendo fuerzas de fricción del medio de rugosidad que se mueva nuestro modulado.

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

1.1. MECÁNICA LAGRANGIANA

Según la mecánica de Newton, dado un sistema de partículas, éste puede solucionarse dinámicamente planteando las ecuaciones {\displaystyle \mathbf {F_{i}} =m_{i}\mathbf {a_{i}} } para cada partícula, con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales. En primera instancia, puede pensarse que la resolución de este sistema es únicamente un problema matemático, por lo que la cuestión está resuelta desde un punto de vista físico. Sin embargo, como veremos, esto no es generalmente cierto, por diferentes razones (Neumann E. 2010).

La mecánica de Newton trata con fuerzas que son magnitudes vectoriales, mientas que la mecánica de Lagrange, trata con energías cinéticas y potenciales que son cantidades escalares.

Mecánica lagrangiana (por tener un sistema de coordenadas más generales de la mecánica newtoniana, por ejemplo) puede resolver problemas más complejos y fenómenos que pueden discriminar llegar a velocidades relativistas (muy alta velocidad) con la misma precisión de las personas con velocidades más bajas (Neumann E.2010).

se estudian varios ejemplos de dificultad creciente y se comparan los dos procedimientos para llegar a las mismas ecuaciones del movimiento, . En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es obtenida encontrando la trayectoria que minimiza la acción, que es la integral del lagrangiano en el tiempo; siendo este la energía cinética del objeto menos la energía potencial del mismo (Strogart S.1994).

La aplicación de la mecánica de Lagrange da lugar a n ecuaciones diferenciales correspondientes a n coordenadas generalizadas. El símbolo qi representa una coordenada generalizada (x, θ, φ, etc). Mostraremos la potencia y sencillez de la formulación de Lagrange,Si T es la energía cinética y V la potencial, entonces la lagrangiana L=T-V (Strogart S. H.1994).

La utilidad de la formulación lagrangiana se aprecia incluso en ejemplos sencillos. Por ejemplo, considere una cuenta en un aro. Si se calculara el movimiento de la cuenta usando la mecánica newtoniana, se obtendría un sistema complicado de ecuaciones que considerarían las fuerzas que el aro ejerce en la cuenta en cada instante (Strogart S. H. 1994).

El segundo ejemplo es el caso del estudio de movimientos referidos a un sistema que gira, como por ejemplo observaciones astronómicas vistas desde el planeta Tierra: en la formulación newtoniana es necesario introducir a mano las fuerzas ficticias o fuerzas de inercia como la fuerza centrífuga o la fuerza de Cori-olis mientras que en la formulación lagrangiana estas fuerzas aparecen de modo natural (Strogart S. H. 1994).

En cambio, en la aproximación de Lagrange, uno mira todos los movimientos posibles que la cuenta podría tomar en el aro y encuentra matemáticamente el que reduce al mínimo la acción. Hay muy pocas ecuaciones puesto que no se está calculando directamente la influencia del aro en la cuenta en un instante dado (Seijo, J. C., Defeo, O., Salas, S. 1998).

1.2. PÉNDULO DOBLE

Si generalizamos, un péndulo doble es un sistema construido con la unión de dos péndulos, el segundo sujeto al extremo del primer péndulo, en resumen, se trata de dos péndulos simples ordenados unos a continuación de otro.

Usualmente llegamos a comprender que es un péndulo doble plano, acoplado con dos péndulos planos coplanarios en un mismo sistema, los mismos que tienen dos grados de libertad con un amplio comportamiento dinámico. además, los movimientos están comandados por dos ecuaciones diferenciales acoplados en el sistema.

2. MODELACION DEL SISTEMA ECUACIONES

2.1. ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE PARA UN PÉNDULO DOBLE

De acuerdo a la Figura 1 se determina las posiciones de las masas del péndulo doble:[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

La energía potencial y cinética del sistema son:

[pic 9]

[pic 10]

Reemplazando (1), (2), (3) y (4) en las ecuaciones (5) y (6) se obtiene:

[pic 11]

La lagrangiana se expresa como:

[pic 12]

Sustituyendo los valores de las ecuaciones (7) y (8) en (9) se consigue la función lagrangiana:

[pic 13]

Considerando que el coeficiente de resistencia tiene la forma [pic 14]podemos formular las siguientes ecuaciones de Lagrange para este caso:

[pic 15]

Desarrollando las ecuaciones (11) y (12) se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden:

[pic 16]

2.2 SIMULACIÓN

[pic 17]

[pic 18]

Podemos demostrar a continuación los códigos usados para la programación en Matlab y las demostraciones de las oscilaciones de cada péndulo, y además la unión de os dos para obtener un solo péndulo doble que se mueve en un ambiente de viscosidad definida para el mismo.

clear;

clc;

m1=0.9;

m2=0.9;

L1=0.5;

L2=0.5;

Fv=1.3;

L=L1+L2;

g=9.8;

V1=0;

V2=0;

alfa01=pi/6;

alfa02=-pi/6;

t0=0;

tf=25;

myopts=simset('MaxStep', 0.025);

sim('pend2', [t0 tf],myopts)

figure(1)

plot(time,alfa1)

xlabel('t')

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