Sistema de coordenadas en tres dimensiones:

Universidad Diego Portales

Facultad de Economía y Empresa

Escuela de Ingeniería Comercial

Material Docente

Asignatura: Calculo II

Profesor: H. Carreño G.

Funciones de Varias Variables

1. Sistema de coordenadas en tres dimensiones:

El producto cartesiano es el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales y se denota por . Se establece una correspondencia uno a uno entre los puntos del espacio y las ternas ordenadas de . Esta correspondencia recibe el nombre de sistema tridimensional de coordenadas rectangulares.

Para localizar un punto en el espacio se necesitan de tres números reales. Representamos cualquier punto en el espacio por una terna ordenada de la forma , donde son números reales.

Para representar puntos en el espacio, primero escogemos un punto fijo (el origen) y tres rectas dirigidas que pasen por este punto y que sean perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas y marcadas (o denotadas) como eje , eje y eje .

Por lo general, consideramos a los ejes y como horizontales y al eje como vertical.

Los tres ejes de coordenadas determinan los tres planos de coordenadas. El plano es el que contiene a los ejes y ; el plano contiene a los ejes y , y el plano contiene a los ejes y .

Estos tres planos de coordenadas dividen al espacio en ocho partes, llamadas Octantes. El primer octante, esta determinado por todos los puntos donde y son positivos.

Si es cualquier punto en el espacio, sea la distancia (dirigida) del plano al punto , sea la distancia del plano al punto , y sea la distancia del plano al punto . Representamos el punto por la terna ordenada de números reales y llamamos y las coordenadas del punto : es la coordenada en , es la coordenada en y es la coordenada en .

Sea un punto de coordenadas en el primer octante, si bajamos una perpendicular del punto al plano , obtenemos un punto con coordenadas llamado proyección de en el plano . Del mismo modo y son las proyecciones del punto en el plano y el plano respectivamente. El punto esta trazado en la figura como una ilustración numérica.

El punto proyectado sobre los planos coordenados.

En la geometría analítica bidimensional, la gráfica de una ecuación en las variables e es una curva en ; en geometría analítica tridimensional, la gráfica de una ecuación en , y representa una superficie en . Las siguientes son ejemplos de superficies:

Plano vertical de ecuación , paralelo al plano coordenado que pasa por el punto

Plano vertical de ecuación , paralelo al plano coordenado que pasa por el punto

Cuando se da una ecuación, del contexto debemos entender si representa una curva en el plano , o una superficie en el espacio . La ecuación representa un plano vertical en el espacio , pero ecuación representa una recta en el plano cartesiano .

Plano Horizontal de ecuación , paralelo al plano coordenado que pasa por el punto

Plano oblicuo en el cual están marcados los puntos de intersección con los ejes de coordenadas, su ecuación es

En general, si es una constante, entonces la ecuación representa un plano paralelo al plano (plano horizontal), la ecuación representa un plano paralelo al plano (plano vertical), la ecuación representa un plano paralelo al plano (plano vertical).

Superficie de ecuación

Superficie de ecuación

Intersección entre ambas superficies

En lo que sigue definiremos funciones de dos variables independientes y analizaremos las diferentes maneras que hay de graficarlas. Por el momento presentamos el gráfico de una función en el espacio:

Diferentes vistas de la función

1.1.​Funciones y Variables.

​Las funciones de valores reales de varias variables reales independientes se definen en forma parecida a como se definen las funciones de una sola variable. Muchas funciones dependen de más de una variable independiente. Los dominios son conjuntos de pares (o tríos, etc.) ordenados de números reales, y sus recorridos son conjuntos de números reales, específicamente intervalos.

1.2.​Definición de Funciones en Dos Variables.

Definición 1:

Supongamos que es un conjunto de n pares ordenados de números reales de la forma . Una función de valores reales sobre es una regla que asigna un número real a cada elemento en . El conjunto es el dominio de la función. El conjunto de valores tomados por es el recorrido de la función. El símbolo (letra) es la variable dependiente de y se dice que es una función de las dos variables independientes: e .

Llamaremos también a e , las variables de entrada de la función y a la variable de salida de la función.

Podemos representar geométricamente una función de dos variables en el espacio de coordenadas cartesianas de tres dimensiones. A cada par ordenado en el dominio de le asignamos el punto P (trío ordenado) . El conjunto de todos estos puntos se llama gráfica de la función , y dichos puntos satisfacen la ecuación . Se puede considerar que la ecuación representa una superficie en el espacio.

Gráfico de la función .

Gráfico de la función .

1.3.​Límite y Continuidad.

Empleamos la notación para indicar que los valores de se aproximan al número cuando el punto se aproxima al punto a lo largo de cualquier trayectoria que permanezca dentro del dominio de . En otras palabras, podemos hacer que los valores de se aproximen a tanto como se desee si tomamos el punto lo suficientemente cerca del punto , pero no igual a

Definición 1:

Una función de dos variables se denomina continua en si .

Diremos que es una función continua en , si es continua en todo

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