Marco teórico de los sistemas de coordenadas

        Marco teórico de los sistemas de coordenadas.

13.1

        El movimiento de una partícula a lo largo de una curva se llama movimiento curvilíneo. En física se demuestra que el movimiento de un proyectil en el plano xy, como el de una pelota de golf al ser golpeada, está regido por el hecho de que su aceleración en las direcciones x y y sastiface las condiciones.

Ax=0,    Ay=-g

En donde g es la aceleración de la gravedad  ax = d2x/dt2, ay= d2y/dt2. En t=0 se toma x=0, y=0, y las componentes x y de la velocidad inicial v0 son

Vo cos O0          y    Vo sen O0

Respectivamente. Tomando dos antiderivadas en (13.1), en virtud de las condiciones iniciales resulta que las coordenadas x, y de la pelota son

X= (Vo cos O0)t

Y= -1/2gt2 + (v0senO0)t

Estas ecuaciones, que dan la posición de la bola en el plano xy en el tiempo t, se dice que son ecuaciones paramétricas. La variable se denomina parámetro y está restringida a un intervalo 0<=t<=T, en donde T es el tiempo en que la pelota choca contra el suelo. En general, una curva en el plano xy se define en términos de ecuaciones paramétricas

Una curva plan C es un conjunto de puntos P(x,y) cuyas coordenadas están dadas por las ecuaciones paramétricas

X=f(t)                          y= g(t)

En donde f y g son continuas en un intervalo I.

Desde luego, no es necesario que un parámetro tenga relación con el tiempo. También, cuando no se especifica el intervalo I, usualmente se sobreentiende que es –infinito

Dado un conjunto de ecuaciones paramétricas, a veces es deseable eliminar el parámetro para obtener una ecuación cartesiana.

X2 + Y2= a2cos2O + a2sen2O implica X2+ Y2=a2

Puesto que cos2PO + sen2O = 1

Sean x=f(t) y y=g(t) funciones diferenciables que definen una curva C. La pendiente de una tangente a C es dy/dx. Para calcular esta derivada, se forma

Dx = f(t+Dt) – f(t) y Dy= g(t+Dt) – g(t)

Y

Dy/Dx = (Dy/Dt)/(Dx/Dt)

En  resumen

Si X= f(t) y y=g(t) son diferenciables, entonces

Dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = g´(t)/f´(t)

Siempre que f´(t) diferente de 0

Entonces parece razonable que C puede aproximarse mediante una trayectoria poligonal que pase por los puntos Qh(f(tk), g(tk)), K= 0,1 ….,n. Denotando la longitud del segmento rectilíneo de Qk-1 a Qk por | Qk-1 Qk| la longitud aproximada C es

Sumatoria |Qk-1 Qk|

En donde

| Qk-1 Qk| = sqrt((f(tk) – f(tk-1)2) + (g(tk) – g(tk-1)2))

Ahora bien, puesto que f y g tienen derivadas continuas, el teorema del valor medio afirma que existen números uk y vk en (tk-1 - tk) tales que

f(tk) – f (tk-1)= f´( uk) (tk - tk-1)

= f¨(uk) D tk

g(tk) – g(tk-1)

= g( Vk) D tk

Luego sustituir ambas y simplificar en la fórmula de sumatoria.

El límite d la sumatoria, no es la definición usual de una integral definida, ya que se tratan de dos números uk y vk en tk y  tk-1 en vez de uno. Empleamos la escapatoria tradicional de los libros de texto apelando a la confianza: Se puede demostrar rigurosamente que la integral resulta de ||p|| -> 0

Una curva C puede tener más de una parametrización. Sin embargo se debe tener cuidado all trabajar con ecuaciones paramétricas. En otras palabras, el último conjunto es una representación paramétrica sólo en de la rama derecha de la parábola: y = x2 , x>=0.

Una curva C descrita por una función continua y= f(x) siempre se puede parametrizar hacieno x=t. Un conjunto de ecuaciones paramétricas para C es x=t, y=f(t).

La gráfica de una función diferenciable puede tener solamente una tangente en un punto. Por el contrario, la gráfica de una curva descrita paramétricamente puede tener dos tangentes en un punto dado.

13.2

Hasta ahora hemos estado usando un sistema de coordenadas rectangulares para especificar un punto P en el plano. Podemos considerar este sistema como una red de rectas horizontales y verticales. Las coordenadas de P son determinadas por la intersección de dos rectas, una perpendicular a una recta de referencia horizontal llamada eje x, y la otra perpendicular a una recta de referencia vertical llamada eje y. Como una alternativa, en coordenadas polares, un punto P puede ser ubicado por medio de una red de circunferencias centradas en un punto O, llamado polo, y semirrectas o rayos que emanan de O. Tómese como eje de referencia una semirrecta horizontal dirigida hacia la derecha de O, y desígnese por eje polar. Especificando una distancia dirigida r a partir de O y un ángulo θ, medido en radianes, cuyo lado inicial es el eje polar y cuyo lado terminal es el rayo OP, las coordenadas del punto P son entonces (r,θ).

Convenciones:

En coordenadas polares se adoptan las siguientes convenciones.

1. Los ángulos O > 0 se mide en sentido opuesto al de las manecillas del reloj, a partir del eje polar, en tanto que los ángulos O<0 se miden en el mismo sentido de las manecillas.
2. Para situar un punto (-r.O), -r<0, se miden |r| unidades a lo largo del rayo O + -.
3. Las coordenadas del polo o son (0,O); O es cualquier ángulo.

A diferencia de un sistema de coordenadas rectangulares, la descripción de un punto en coordenadas polares no es única. Esto es una consecuencia inmediata del hecho de que

(r,O)   y      (r, O + 2npi), n entero

Son equivalentes. Para agravar el problema, pueden ser utilizados valores negativos de r.

Superponiendo un sistema de coordenadas rectangulares  a un sistema de coordenadas polares, una descripción polar de un punto se puede convertir a coordenadas rectangulares utilizando.

...