Sistema de ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones

Ingeniería Mecánica

Ecuaciones lineales

Ejercicio de aplicación:

Se tiene un sistema de tuberías que llevan agua desde tres tanques diferentes (A, B y C) a un deposito. La velocidad del flujo de agua desde cada tanque está controlada por una válvula. Encuentre la velocidad de flujo deseada hacia el deposito. La velocidad del flujo hacia el deposito esta modelada con el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2a + b + c = 10

a + 3b + c = 15

a + b + 4c = 20

Algoritmo:

1. Primero, debemos reorganizar las ecuaciones para que cada variable esté despejada en términos de las otras dos. Esto nos da las siguientes ecuaciones:

a = (10 - b - c) / 2

b = (15 - a - c) / 3

c = (20 - a - b) / 4

1. Luego, elegimos un conjunto inicial de valores para a, b y c. Podemos comenzar con a = 0, b = 0 y c = 0.

1. Ahora, aplicamos el método de Gauss-Seidel iterativamente para encontrar la solución. En cada iteración, actualizamos los valores de a, b y c utilizando las ecuaciones despejadas que obtuvimos en el paso 1.

En la primera iteración, calculamos el nuevo valor de x utilizando la primera ecuación:

a = (10 - b - c) / 2

a = (10 - 0 - 0) / 2

a = 5

Luego, utilizamos este nuevo valor de a para calcular el nuevo valor de b utilizando la segunda ecuación:

b = (15 - a - c) / 3

b = (15 - 5 - 0) / 3

b = 10/3

Finalmente, utilizamos estos nuevos valores de a y b para calcular el nuevo valor de c utilizando la tercera ecuación:

c = (20 - a - b) / 4

c = (20 - 5 - 10/3) / 4

c = 35/12

1. Repetimos este proceso iterativamente hasta que los valores de a, b y c converjan a una solución. En este caso, después de varias iteraciones, encontramos que la solución es a ≈ 1.47 b ≈ 3.23 y c ≈ 3.82.

Luego de aplicar el método de Gauss-Seidel y Jacobi con ayuda de un programa obtuvimos los siguientes resultados:

Para el método de Jacobi:

Solución x1 = 1.4705881821402746

Solución x2 = 3.2352940765099025

Solución x3 = 3.823529378212762

En 49 iteraciones

[pic 1]

Para el método de Gauss-Seidel:

Solución x1 = 1.470588235634863

Solución x2 = 3.2352941222163647

Solución x3 = 3.823529410537193

En 12 iteraciones

[pic 2]

Conclusión:

Podemos observar como el método de Gauss-Seidel le tomo solo 12 iteraciones para encontrar la    solución al problema, mientras que por el método de Jacobi tomo 49 iteraciones, con esto podemos concluir que, aunque ambos llegan al mismo resultado el método de Gauss-Seidel es más efectivo

...