Sistemas de ecuaciones lineales

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA MADRE Y MAESTRA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

ESCUELA DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

MAT-130 – Algebra Lineal

Guía de lectura 1.2: Sistemas de ecuaciones lineales

Textos:

Kolman, Algebra Lineal, 8ª edición, pp. 62 a 79, 85 a 90.

Objetivos:

Al completar esta guía de lectura usted será capaz de:

1. Definir un sistema de ecuaciones lineales (SEL) y la solución de un SEL.
2. Definir los tipos de SEL en cuanto a la cantidad de soluciones.
3. Representar un SEL en forma matricial.
4. Escribir la matriz aumentada de una SEL.
5. Realizar las operaciones elementales de renglón.
6. Identificar la forma escalonada por filas y forma escalonada reducida por filas de una matriz.
7. Resolver un SEL mediante eliminación Gaussiana y por eliminación de Gauss-Jordan.
8. Definir un sistema de ecuaciones homogéneo e identificar si tiene solución trivial o no trivial.
9. Escribir la solución no trivial de un sistema homogéneo como la adición de la solución homogénea y la solución particular.

Las respuestas a esta guía serán socializadas en la próxima clase.

1. Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL)

Una ecuación lineal con n incógnitas es de la forma:  

   [pic 1]

Una solución de una ecuación lineal es una sucesión de números para   que satisface la ecuación, es decir que al sustituirse en la ecuación la hace verdadera.[pic 2]

Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) o sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas (de m x n) es de la forma:

[pic 3]

Donde cada solución de las incógnitas  satisface TODAS las ecuaciones del sistema.[pic 4]

1. Clasificación de los SEL según el número de soluciones:

Interpretación geométrica de las soluciones en un sistema de 2 x 2:

[pic 5]

1. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

El sistema de ecuaciones lineales siguiente se puede escribir en forma matricial usando tres matrices:

[pic 6]

[pic 7]

            [pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11][pic 12]

Observe que al multiplicar las matrices A y x se obtiene:

[pic 13]

1. Forme el sistema de ecuaciones a partir de las matrices siguientes:

[pic 14]

1x+3y+7z=4

2x+3y-1=0

0x+4y+2z=-1

1. Matriz aumentada de un SEL:

[pic 15]

[pic 16]

1. Las tres operaciones elementales de renglón

[pic 17]

Se usan estas tres operaciones porque forman otro sistema lineal equivalente al sistema original, que tiene exactamente las mismas soluciones que el sistema dado.

1. Formas escalonadas de una matriz

[pic 18]

1. Identifique si cada matriz está en forma escalonada reducida por renglón, forma escalonada o ninguna.

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

1. Eliminación Gaussiana y forma escalonada por renglón

Escriba la matriz aumentada del siguiente sistema lineal:

[pic 22]

Eliminación Gaussiana (Forma escalonada por renglón)

[pic 23]

La matriz aumentada está en forma escalonada por renglón.

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