Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Contenido

Capítulo 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales        2

Introducción        2

Ejemplos de ecuaciones lineales        2

Sistemas de ecuaciones lineales        2

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales        3

Matrices aumentadas y operaciones elementales        6

Procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones (eliminación Gaussiana)        6

Ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones con eliminación Gaussiana        6

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[pic 5]Capítulo 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Introducción

Una ecuación lineal se define como:

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

donde 𝑎1, 𝑎2,..., 𝑎𝑛 y b son constantes y las “a” no son todas cero. En un caso especial en donde b = 0, es decir:

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

la ecuación lineal se conoce como ecuación lineal homogénea.

Es importante señalar que una ecuación lineal está conformada únicamente por variables elevadas a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales.

Ejemplos de ecuaciones lineales

Las siguientes son ecuaciones lineales:

∙        2𝑥 + 4𝑦 = 1        ∙        𝑥 − 3𝑦 = −7

∙        𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 1        ∙        −3𝑥 + 2𝑦 = 0

Las siguientes no son ecuaciones lineales:

∙        𝑥 + 4𝑦2 = 3        ∙        𝑥 − 3𝑦 + 𝑥𝑦 = −5

∙        sin 𝑥 + 𝑦 = 1        ∙        √𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1[pic 12]

Sistemas de ecuaciones lineales

Un conjunto finito de ecuaciones lineales se llama sistema de ecuaciones lineales, o de manera más breve, sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones general de n incógnitas (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) en m ecuaciones puede ser escrito como:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

...

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

El doble subíndice de los coeficientes 𝑎ij de las incógnitas nos indica su localización en el sistema. El primer índice indica la ecuación, y el segundo la incógnita a la que multiplica.

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Existe una relación entre la solución de un sistema de ecuaciones y una intersección de rectas o planos, según sea el caso; la solución de un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas representa la coordenada en la cual existe la intersección de rectas, y la solución del sistema de 3 incógnitas la intersección de planos; hay que señalar que cada ecuación representa la ecuación de una recta.

En un sistema de ecuaciones lineales hay 3 posibles resultados:

1. El sistema no tiene solución, gráficamente esto representaría que las líneas o los planos son paralelos y distintos;
2. El sistema tiene una y solamente una solución, gráficamente esto representaría la intersección antes mencionada, en donde si hay n rectas o n planos, los n tienen que intersectar en un mismo punto, si falta uno o más, entonces no es una solución;
3. El sistema tiene infinitas soluciones, gráficamente esto representa que las rectas o planos tienen infinitos puntos de intersección, es decir se encuentra una sobre otra o son las mismas.

En general, se dice que un sistema de ecuaciones es consistente si tiene al menos una solución, y se dice que es inconsistente cuando no tiene soluciones.

A continuación se expondrán ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con su respectivo resultado, y se invita al lector a utilizar graficadores como Geogebra para analizar la relación entre el resultado y los puntos de intersección.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 1: Sistema de ecuaciones con solución única

Resuelva el sistema de ecuaciones:

3𝑥 − 2𝑦 = 3

𝑥 + 2𝑦 = 3

Solución: Podemos eliminar la variable y de la primera ecuación sumando una vez la segunda ecuación a la primera.

4𝑥 + 0𝑦 = 6

𝑥 + 2𝑦 = 3

De la primera ecuación determinamos el valor de x, y sustituimos en la segunda ecuación para encontrar el valor de y.

x = 3

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3

[pic 17]𝑦 = 3[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

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Como se mencionó anteriormente, gráficamente la solución representa la intersección de las rectas de la ecuación 1 y 2, y la solución puede ser expresada como una coordenada, es decir:

(3 , 3[pic 22][pic 23][pic 24]

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Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones sin solución

Resuelva el sistema de ecuaciones:

𝑥 + 2𝑦 = 3 2𝑥 + 4𝑦 = 2

Solución: Podemos eliminar la variable y de la segunda ecuación, restando 2 veces la primera ecuación a la segunda.

𝑥 + 2𝑦 = 3 0 = −4

Dado que la segunda ecuación es contradictoria, es decir, inconsistente, pues no existen valores para las variables que satisfagan el sistema; el sistema no tiene solución pues es inconsistente. Gráficamente esto debe de representar que las rectas son paralelas y distintas.

Ejemplo 3: Sistema de ecuaciones con soluciones infinitas

Resuelva el sistema de ecuaciones:

𝑥 + 2𝑦 = 3 2𝑥 + 4𝑦 = 6

Solución: Podemos eliminar la variable y de la segunda ecuación, restando 2 veces la primera ecuación a la segunda.

𝑥 + 2𝑦 = 3 0 = 0

A diferencia del ejemplo 2, la segunda ecuación no es contradictoria, por lo que es consistente; ahora bien, dado que no podemos eliminar ninguna variable, podemos dejar la solución expresada en términos de una variable, es decir:

𝑥 = 3 − 2𝑦

en donde podemos asignar valores arbitrarios t a la variable y, esto es:

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[pic 25]𝑥 = 3 − 2𝑡[pic 26][pic 27][pic 28]

en donde a t se le conoce como parámetro, y la ecuación de la solución se conoce como ecuación paramétrica.

...