Sistemas de ecuaciones lineales – Métodos Directos

METODOS NUMERICOS

Tema: Sistemas de ecuaciones lineales – Métodos Directos

Ismael Ronaldo Flores                 TP3 - parte 1

1. Resuelva los siguientes sistemas triangulares aplicando sustitución hacia adelante o hacia atrás, según corresponda:

a)

[pic 1]

Aplico sustitución hacia atrás:

  Si an≠0 entonces

Xn = bn/ann

X3= 6/3 = 2

X2= (24 – 2 *4)/ (-2) = -8

X1= (-5 – (-8*2 + 2*3))/5 = 1

Entonces: X[pic 2]

b)

                =>    [pic 3][pic 4]

Aplico sustitución hacia adelante:

  Si a11≠0 entonces

X1 = b1/a11

X3= 6/2 = 3

X2= (4 – 1*3)/1 = 1

X1= (15 – 3*3 + 2*1)/4 = 2

Entonces: X[pic 5]

1. Resuelva los siguientes sistemas con el método de Descomposición LU:

a)

          =>    [pic 6][pic 7]

m21 = 1/2         = 0[pic 8]

m31 = -1/2         = 0[pic 9]

 =   - m21*  = 2 -0,5 * (-1)= 2,5 [pic 10][pic 11][pic 12]

 =   - m21*  = 0 -0,5 * (-1)= 0,5 [pic 13][pic 14][pic 15]

 =   - m31*  = 1 – (-0,5) * (-1)= 0,5[pic 16][pic 17][pic 18]

 =   - m31*  = 0,5 – (-0,5) * (-1)= 0 [pic 19][pic 20][pic 21]

A2 =[pic 22]

m32 = (0,5)/ (2,5) = 1/5                 = 0[pic 23]

 =   - m32*  = 0 – (1/5) * (1/2)= -1/10[pic 24][pic 25][pic 26]

L=          U= [pic 27][pic 28]

Ahora resolvemos Ly=b, luego Ux=y para obtener x

 =      [pic 29][pic 30]

Aplicando sustitución hacia adelante nos queda que:

 [pic 31]

Ahora calculamos X=:[pic 32]

=[pic 33][pic 34]

Aplicando sustitución hacia atrás nos queda que: X=[pic 35]

2-b)

        =>    [pic 36][pic 37]

m21 = -1/2         = 0[pic 38]

m31 = 3/2         = 0[pic 39]

 =   - m21*  = 3 – (-0,5) * (-6)= 0[pic 40][pic 41][pic 42]

 =   - m21*  = -2 – (-0,5) * (-3)= -3,5 [pic 43][pic 44][pic 45]

 =   - m31*  = 1 – (3/2) * (-6)= 10[pic 46][pic 47][pic 48]

 =   - m31*  = -3 – (3/2) * (-3)= 1,5 [pic 49][pic 50][pic 51]

A2 =        [pic 52]

  m32 = a22/ a32 = 10/0  Como no es posible calcular m32, no es posible aplicar el método de Descomposición LU en este sistema.

2-c)

        =>    [pic 53][pic 54]

Calculamos los multiplicadores:

m21 = 3/4         = 0[pic 55]

m31 = -1/2         = 0[pic 56]

m41 = -5/4         = 0[pic 57]

 =   - m21*  = 2 – (3/4) * (3) = -0,25[pic 58][pic 59][pic 60]

 =   - m21*  = 1 – (3/4) * (-2) = 2,5 [pic 61][pic 62][pic 63]

 =   - m21*  = 5 – (3/4) * (1) = 4,25[pic 64][pic 65][pic 66]

 =   - m31*  = 3 – (-1/2) * (3) = 4,5[pic 67][pic 68][pic 69]

 =   - m31*  = 1 – (-1/2) * (-2) = 0 [pic 70][pic 71][pic 72]

 =   - m31*  = 2 – (-1/2) * (1) = 2,5[pic 73][pic 74][pic 75]

 =   - m41*  = 0 – (-5/4) * (3) = 3,75[pic 76][pic 77][pic 78]

 =   - m41*  = 1 – (-5/4) * (-2) = -1,5[pic 79][pic 80][pic 81]

 =   - m41*  = 1 – (-5/4) * (1) = 2,25[pic 82][pic 83][pic 84]

A2  =                [pic 85]

m32 = -18         = 0[pic 86]

m42 = -15         = 0[pic 87]

 =   - m32*  = 0 – (-18) * (5/2)= 45[pic 88][pic 89][pic 90]

 =   - m32*  = 5/2 – (-18) * (4,25)= 79[pic 91][pic 92][pic 93]

 =   - m42*  = -3/2 – (-15) * (5/2)= 36[pic 94][pic 95][pic 96]

 =   - m42*  = 2,25 – (-15) * (4,25)= 66[pic 97][pic 98][pic 99]

...