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Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Gauss, Gauss-Jordan, Cramer


Enviado por   •  22 de Febrero de 2022  •  Apuntes  •  1.299 Palabras (6 Páginas)  •  183 Visitas

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Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Gauss, Gauss-Jordan, Cramer

MCE Angélica Holguín López | Algerba Lineal | UACH


MÉTODOS DE SOLUCIÓN

MÉTODO DE GAUSS

Consiste en escribir el sistema en una matriz aumentada y hacer operaciones con renglones hasta quedar una matriz triangular inferior.

Reducir la matriz de coeficientes a la forma escalonada (matriz triangular inferior con la diagonal principal en unos), despejar la última incógnita y luego usar sustitución hacia atrás para despejar las otras incógnitas.

EL sistema a resolver, no necesariamente debe de ser cuadrado.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. [pic 4].

  1. Escribimos el sistema en forma de matriz AX = B [pic 5]
  2. Escribir la matriz aumentada [pic 6]
  3. Hacer operaciones de renglón para hacer ceros debajo de la diagonal principal.

[pic 7]

  1. El resultado se escribe en ecuaciones y se empieza a despejar para sacar los valores

[pic 8]

Si z = 10, entonces de la segunda ecuación obtenemos [pic 9]. Si se conoce y, entonces los dos

resultados se sustituyen en la primera para obtener [pic 10]

  1. La solución al sistema es x = 7, y = -18 y z = 10. Para comprobar tienen que sustituir en el sistema.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. [pic 11]

[pic 12]

        En este ejercicio el tercer renglón nos quedó un cero en la tercer columna (representa a las z), esto nos hace que nos detengamos porque el cero no hay forma de convertirlo en uno y de aquí queda el siguiente sistema a resolver [pic 13].

De esta reducción se puede obtener el valor de y , luego el de z y por último el de x. [pic 14]

Obtención de z  🡪 [pic 15]

Por ultimo x 🡪 [pic 16]

La solución al sistema es x = 4, y = 4 y z = 2.

MÉTODO DE GAUSS JORDAN

           Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana, pero con el objetivo de finalizar con una matriz diagonal o escalonada reducida.

EL sistema a resolver, no necesariamente debe de ser cuadrado.

        Resolver el sistema [pic 17]

        Hacer operaciones con renglones a reducir la matriz de la izquierda a una matriz identidad.

[pic 18]

[pic 19]

        Al lado izquierdo queda la matriz identidad y eso hace que el sistema se escriba de la forma [pic 20], esto es la solución.

Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

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