Solucion de Ecuaciones Algebraicas (Metodos Numéricos).

Método de Newton Rahpson

Es un método de segundo orden de convergencia cuando se trata de raíces reales no repetidas. Es un procedimiento que lleva la ecuación a la forma              de modo que .[pic 1][pic 2][pic 3]

Se supone un valor inicial  que se sitúa en el eje horizontal. Se traza una tangente a la curva en el punto y a partir de ese punto se sigue por la tangente hasta su intersección con el eje . El punto de corte  es una nueva aproximación a . El proceso se repite  tomando a , obteniendo una nueva aproximación  y así sucesivamente hasta que un valor  satisfaga  o ambos.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Si lo anterior no se cumpliera en un máximo de iteraciones, debe reiniciarse con un nuevo valor de .[pic 13]

                                                    [pic 14]

Errores del método

Cuando el método de Newton Raphson converge se obtienen los resultados en relativamente pocas iteraciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2.

Sin embargo, algunas veces el método no converge si no que oscila. Esto puede ocurrir si no hay raíz real; domo cuando la raíz es un punto de inflexión, o si el valor inicial esto muy alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración.

El método de Newton Raphson requiere de la primera derivada de  Pudiéndose necesitar métodos de dos puntos.[pic 15]

Ejemplo

Encuentra una raíz real de la función  mediante el método de Newton Rahpson , con  aplicado al valor absoluto     .[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Ahora  primeramente nos han dado un valor inicial , podemos iniciar nuestras iteraciones, pero antes  tenemos que saber la derivada de nuestra función, la cual es , para poder empezar a obtener nuestros valores de         .[pic 20][pic 21][pic 22]

                         =1.41176[pic 23]

Así es como se encuentran los valores de  ahora pasamos a generar nuestra tabla y para evitar el uso tedioso de una calculadora para hacer las sustituciones de los valores, podemos recurrir a Excel para un uso más cómodo y rápido.[pic 24][pic 25]

Podemos ver que para el valor generado , este satisface perfectamente a , encontrando un cero o raíz de nuestra función.[pic 30][pic 31]

Método del punto fijo

El método del punto fijo es un método iterativo que permite encontrar las raíces, soluciones o también llamados “ceros” de  sistemas de ecuaciones o una sola ecuación, estas no necesariamente lineales.

Primeramente para hacer uso del método tenemos que hacer con nuestra función    , un despeje   .[pic 32][pic 33]

Pasos a seguir

1. Se despeja de manera: [pic 34]

2. Obtenemos de  su derivada  .[pic 35][pic 36]

3. Resolviendo la desigualdad  obtenemos el rango de valores en los cuales está el punto fijo llamado r.[pic 37]

4. Con r buscamos la raíz en , es decir  haciendo iteración de las operaciones.[pic 38][pic 39]

Ejemplo

[pic 40]

Paso 1:

Realizamos el despeje[pic 41]

                             [pic 42][pic 43]

Paso 2

Pasamos a obtener la derivada de que es [pic 44][pic 45]

[pic 46]

Paso 3

Obtenemos la solución a la desigualdad [pic 47]

[pic 48]

La solución es 37/20

[pic 49]

La solución es 3/5

Paso 4

Hacer la sustitución de  en  , en este caso por  tomaremos a  [pic 55][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

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