Solución de ejercicios de álgebra

Una partícula se mueve a lo largo del eje x, mediante una fuerza impulsora f(x)=x^2+x+1 newton. ¿Cuántos Julios de trabajo se realizan con esa fuerza desde x=2metros a x=4 metros?

∫_2^4▒〖x^2+x+1 dx〗

Utilizando El segundo teorema fundamental del cálculo tenemos que integrar

∫_2^4▒〖x^2+x+1 dx〗

Operando la integral primitiva nos queda.

∫▒〖x^2+x+1 dx〗

Aplicando las propiedades de la suma de integrales.

∫▒〖x^2+∫▒x+∫▒〖1 〗 dx〗

Por integrales inmediatas

∫▒〖x^3/3+∫▒x^2/2+∫▒〖x 〗 dx〗

x^3/3+x^2/2+x+c

Aplicando el segundo teorema fundamental del caculo y evaluando en x=2 y x=4 tenemos

├ =x^3/3+x^2/2+x┤|_2^4

Tenemos

=80/3=26.67N.m

Ejercicio 24.

Hallar el Excedente del Productor (EP), el Excedente del consumidor (EC) y el Punto de Equilibrio (PE) de S(x)=x y D(x)=(-x)/3+4

Como primera medida debemos hallar el punto de equilibrio el cual se obtiene cuando

S(x)= D(x) es decir x=(-x)/3+4

Realizando operaciones algebraicas tenemos que:

x=(-x)/3+4= x=3 y y=3

Luego el punto de equilibrio es P (3,3)

Para calcular el excedente del consumidor (E.C.) utilizamos la ecuación para E.C. veamos.

E.C.=∫_0^3▒〖D(x) dx-QP〗

∫_0^3▒〖(-x)/3+4 dx-QP〗

∫▒〖4-x/3〗 dx

Aplicando propiedades de la suma y resta de integrales tenemos

4∫▒〖1 dx〗-1/3 ∫▒〖x dx〗

Integrando y operando

=4∫▒〖1 dx〗-1/3 ∫▒〖x dx〗

=4x-1/3 x^2/2

├ =4x-x^2/6┤|_0^3-QP

├ =4(3)-〖(3)〗^2/6┤|_0^3-QP=12-9/6-QP=21/2-QP

21/2-(3*3)=3/2=1.5

Por lo tanto E.C. = 1.5

c- De igual manera que en el caso anterior, el excedente del productor se calcula con la ecuación para este fin.

E.P.=QP-∫_0^3▒〖S(x)dx〗

QP-∫_0^3▒〖x d(x) 〗

La integral de la expresión x es igual a

├ x^2/2┤|_0^3=QP-(3)^2/2=(3*3)-9/2=9/2=4.5

Luego E.P. = 4.5

Ejercicio 25.

El volumen del solido de revolución generado por la ecuación x^3=y,y=1,y=8 , y el cual gira alrededor del eje y, es.

Sabemos que x^3=y, además que el sólido revoluciona con respecto al eje

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y, por lo tanto debemos representar la función con respecto a y así, d(y) entonces:

x^3=y

∛(x^3

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