TRabajo Sobre Grafos

Índice de Contenido

INTRODUCCION 2

VERTICES 3

CAMINOS 4

CLASIFICACION DE GRAFOS 4

TIPOS DE GRAFOS 5

ÁRBOLES 8

RECORRIDO DE UN GRAFO 8

REPRESENTACION DE UN GRAFO EN PROGRAMAS 9

RESUMEN 11

EJERCICIOS DE GRAFOS 14

INTRODUCCIÓN

Este trabajo tiene como finalidad tratar brevemente lo que son los grafos, sus tipos, y algunas derivaciones de ellos, así como su representación gráfica y en algunos casos, su representación en algún programa informático, así como en la memoria.

En este trabajo, traté de ser lo más breve posible explicando de manera muy sencilla los conceptos y algunas metodologías con un lenguaje no tan rebuscado para su mayor entendimiento.

La teoría de grafos es una disciplina antigua con muchas aplicaciones modernas. Sus ideales básicos fueron introducidos por el gran matemático suizo Leonhard Euler (1700-1783) en el siglo XVIII. L. Euler utilizó los grafos para resolver el famoso problema de los puentes de Königsberg que se considera el primer trabajo sobre esta materia.

Los grafos se emplean para resolver problemas de diversas áreas. Pueden utilizarse, por ejemplo, para determinar si se puede o no implementar un circuito sobre una placa de una sola capa, para estudiar la estructura de una red de Internet, para determinar si dos ordenadores están conectados o no dentro de una red informatizada, para hallar el camino más corto entre dos ciudades en una red de transportes, para trazar rutas de vuelo en un espacio aéreo concreto…

El primer ejemplo de trabajo con grafos fue este trabajo que surgió para resolver un problema en la ciudad de Königsberg (Rusia). La ciudad estaba dividida en cuatro partes por dos brazos del río Pregel estando conectadas por siete puentes.

El primer ejemplo de trabajo con grafos fue este trabajo que surgió para resolver un problema en la ciudad de Königsberg (Rusia). La ciudad estaba dividida en cuatro partes por dos brazos del río Pregel estando conectadas por siete puentes.

La pregunta que se hizo L. Euler fue: ¿Es posible recorrer los siete puentes pasando por todos ellos una única vez, partiendo y llegando al mismo sitio?

Para intentar resolver este problema representó esquemáticamente las áreas de tierra por puntos y los puentes por líneas conectando esos puntos. El resultado fue el siguiente grafo:

VÉRTICES

Son los puntos o nodos con los que está conformado un grafo.

Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.

• Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.

• Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.

• Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.

CAMINOS

Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, { v1,v2},..., {vn,y}. En este caso

• x e y se llaman los extremos del camino

• El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.

• Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.

• Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.

• Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.

• Llamaremos ciclo a un circuito simple

• Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

CLASIFICACION DE GRAFOS

Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.

Ejemplos

G1 = (V1, A1)

V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

G2 = (V2, A2)

V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}

G3 = (V3, A3)

V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }

Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:

PRINCIPALES TIPOS DE GRAFOS

• Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k−regular.Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3−regular, el segundo es 2−regular y el tercero no es regula

• Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto. Ejemplo.− de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es.

• Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

• Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

• Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

• Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

• Grafos Platónicos: Son los Grafos formados por los vértices y aristas de los cinco sólidos regulares ( Sólidos Platónicos), a saber, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Grafos Eulerianos.

Para definir un camino euleriano es importante definir un camino euleriano primero. Un camino euleriano se define de la manera más sencilla como un camino que contiene todos los arcos del grafo.

Teniendo esto definido podemos hablar de los grafos eulerianos describiéndolos simplemente como aquel grafo que contiene un camino euleriano. Como ejemplos tenemos las siguientes imágenes:

El primer grafo de ellos no contiene caminos eulerianos mientras el segundo contiene al menos uno.

Grafos Conexos.

Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vértice V pertenece

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