Taller Métodos Numéricos

[pic 1]

UNIVERSIDAD DE CORDOBA

 Facultad De Ciencias Básicas

Departamento de Matemáticas y Estadística

programa: Estadística

Métodos Numéricos

Carlos Alberto Reales Martínez

Taller

Thalía Arrieta Monterrosa

Ruth Hernandez Pestana

Montería – Córdoba

2021

1. Utilice el algoritmo de Cholesky para encontrar una factorización de la forma para las matrices en[pic 2]

1.                          b) [pic 3][pic 4]

Solución

1. La factorización  no tiene la necesidad de la diagonal de la matriz triangula inferior, así que necesitamos tener[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Por lo tanto

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

    [pic 13][pic 14]

[pic 15]

Así tenemos.

[pic 16]

1. La factorización  no tiene la necesidad de la diagonal de la matriz triangula inferior, así que necesitamos tener[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Por lo tanto        

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Así tenemos.

[pic 27]

1. Utilice la factorización Crout para sistemas tridiagonal para resolver los siguientes sistemas lineales.

1.                                    [pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

1. [pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Solución

1. Del sistema de ecuaciones a) obtenemos la siguiente matriz

[pic 37]

                Usando la factorización de , A tiene la forma.[pic 38]

                [pic 39]

[pic 40]

                Por tanto,

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

                Así

                [pic 51]

[pic 52]

                Resolviendo el sistema

                [pic 53]

1. Del sistema de ecuaciones b) obtenemos la siguiente matriz

[pic 54]

Usando la factorización de , A tiene la forma.[pic 55]

[pic 56]

1. Utilice polinomios de interpolación de Lagrange apropiados de grados uno, dos y tres para aproximar cada uno de los siguientes:

1. [pic 57]
2. [pic 58]

SOLUCION

1. El polinomio de interpolación lineal de Lagrange requiere solo dos nodos.  Como necesitamos aproximar el valor de  en , que está entre los nodos , buscamos el polinomio a través de  y  dado como[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

[pic 64]

En los nodos , los valores de la función correspondientes son[pic 65]

, [pic 66][pic 67]

Por lo tanto, el polinomio se determina como

[pic 68]

La aproximación del valor funcional  seria[pic 70][pic 69]

[pic 71]

Para encontrar el polinomio de interpolación cuadrático, necesitamos tres

nodos y los valores correspondientes de .  Agregamos el nodo , pero tenga en cuenta que se podría agregar  en su lugar.  [pic 72][pic 73][pic 74]

,, [pic 75][pic 76]

[pic 77]

El polinomio es

[pic 78]

Donde

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

Por lo tanto, el polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado es

[pic 91]

[pic 92]

         y el valor aproximado de  es [pic 94][pic 93]

[pic 95]

Para encontrar el polinomio de interpolación cúbica, necesitamos los cuatro nodos dados y los valores correspondientes de . [pic 96]

,, [pic 97][pic 98][pic 99]

El polinomio es

 [pic 100]

donde  para está determinado por (3.2).[pic 101][pic 102]

Se determinan los polinomios [pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

[pic 117]

[pic 118]

[pic 119]

Por lo tanto, el polinomio de interpolación de Lagrange tercer grado es

[pic 120]

[pic 121]

Y el valor aproximado de  es [pic 123][pic 122]

[pic 124]

Dado que el ejercicio no requiere determinar realmente el polinomio, solo evaluarlo en , el cálculo se puede simplificar un poco y la cancelación sustractiva que causa grandes errores se evita al evaluar el polinomio en su forma factorizada de la siguiente manera.[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

...