Tema 1: Matrius

[pic 1]

definicions[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

 operacions amb matrius[pic 25][pic 26]

• Suma i resta

Per a poder sumar o restar cal que tinguen el mateix tamany.

Propietats:

• Commutativa   →  A+B = B+A
• Associativa  →  (A+B) + C = A + (B+C)
• Element neutre  →  A+O = A (on O = matriu nul·la)
• Element oposat  →  A+ (-A) = O

 [pic 27]

[pic 28]

• Multiplicar per un nombre

[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

• Multiplicar matrius

No és precís que tinguen el mateix tamany.

Per a poder multiplicar matrius m x p  p x n → m x n[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 34]

Propietats:

• A  B ≠ B  A  → No és conmutativa. Matrius commutables les que compleixen la propietat conmutativa.[pic 39][pic 40]
• Associativa  → (A  B)  C = A  (B  C)[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]
• Element neuter  → I  A = A  I = A[pic 45][pic 46]
• Distributiva  → A  (B + C) = A  B + A C[pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50]

[pic 51][pic 52][pic 53]

2x2 → Sí que es pot multiplicar[pic 54][pic 55]

[pic 56][pic 57][pic 58]

[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

• Dividir matrius → les matrius no es poden dividir!
• Potència d’una matriu → multiplicar-les[pic 64][pic 65][pic 66]

[pic 67][pic 68][pic 69]

matriu inversa[pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

Es defineix en les matrius quadrades.[pic 76][pic 77]

Les matrius que tenen inversa s’anomenen invertibles o regulars.

Les matrius que no tenen inversa són matrius no invertibles o singulars.

Propietats:

• (A-1)-1 = A
• (A  B)-1 = B-1  A-1[pic 78][pic 79]
• (AT)-1 = (A-1)T[pic 80]

equacions matricials[pic 81][pic 82]

• A  X = B → A-1  A  X = A-1  B → X = A-1  B[pic 88][pic 89][pic 90][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

• X  A = B → X  A  A-1 = B  A-1 → X = B   A-1[pic 96][pic 97][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]

• AX + BX = C → X  (A+B) = C → X = (A+B) -1  C[pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

[pic 102]

• A  X  B = C → A-1A  X  BB-1 = A-1C  B-1 → X = A-1C  B-1[pic 113][pic 114][pic 115][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

• A X B = C → A X = C – B →  A-1A  X = A-1  (C – B) → X = A-1  (C – B)[pic 123][pic 124][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122]

[pic 125][pic 126][pic 127]

...