Teorema del binomio

Teorema del binomio

En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial \tbinom nb o \tbinom nc (los dos tienen el mismo valor).

Índice [ocultar]

1 Formulación del teorema

1.1 Ejemplo

2 Teorema generalizado del binomio (Newton)

3 Coeficiente binomial

4 Historia

5 Véase también

6 Referencias

7 Enlaces externos

Formulación del teorema[editar]

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de {n\choose k} (que también es representado ocasionalmente como C(n,k)\, o C^n_k ) se obtiene la siguiente representación:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k

El coeficiente de x^{n-k}y^k\, en el desarrollo de (x+y)^n\, es {n\choose k}

donde {n\choose k} recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n

Ejemplo[editar]

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2)\begin{cases}

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\

(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Teorema generalizado del binomio (Newton)[editar]

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3){(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Coeficiente binomial[editar]

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como {\alpha \choose k} de forma sencilla:

{\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}.

Historia[editar]

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación

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