Teoría de calculo

Capitulo 1

FUNCIONES Y LÍMITES.

1.1 DESIGUALDADES.

• DEFINICIÓN.
• RECTA NÚMERICA.
• INTERVALOS.

1.2 FUNCIONES.

• DEFINICIÓN.
• CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES.
• DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION.
• GRAFICAS DE LAS FUNCIONES.
• NOTACIÓN FUNCIONAL.
• COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.
• OPERACIONES CON FUNCIONES.
• APLICACIONES DE LAS FUNCIONES:

1. LÍMITES.

• INTRODUCCIÓN.
• LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
• TEOREMA DE LOS LÍMITES.
• LÍMITES QUE SE RESUELVEN POR f(a).
• LÍMITES POR FACTORIZACIÓN.
• LÍMITES POR RACIONALIZACIÓN.
• LÍMITES DE FORMA INDETERMINADA ∞/∞.
• LÍMITES CON CAMBIO DE VARIABLE.

1. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD.

1.1 DESIGUALDADES

El concepto de orden dado por las siguientes definiciones.

DEFINICIÓN 1. Los símbolos < (menor que) y > (mayor que) se definen como sigue.

1. El número real a es menor que el número real b, que se escribe por a < b si b - a es un número positivo.
2. El número real a es mayor que el número real b, que se escribe por a > b si a - b es un número positivo.

DEFINICIÓN 2. Los símbolos “menor ó igual que” y “mayor ó igual que” se definen por:

a) [pic 1] si y solo si a < b o a = b

b) [pic 2] si y solo si a < b o a = b.

Al investigar el costo de una libreta  en diferentes papelerías  de la ciudad notaras que el precio varía. En una cantidad x se encontró que los precios eran $35, $40. $42.50, $50. Este tipo de situaciones son magnitudes que varían, dan origen a expresiones llamadas inecuaciones que se expresan como desigualdades. Así, el precio P de la libreta se expresa  [pic 3], [pic 4] y se representa gráficamente como intervalo.

[pic 5]        R[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

                                                                                                   0       10    20     30     40     50

EJEMPLO   3x+2 > 14 

1° elimine el 2  3x+2-2 > 14-2          3x > 12[pic 20]

2°  multiplicamos por 1/3    1/3(3x) > 1/3(12) [pic 21]

EJEMPLO   [pic 22]

1° multiplicamos por 3 [pic 23] [pic 24]

2° sumar -7    [pic 25]

3° multiplicar por ¼    -16(¼)< 4x(¼)<20(¼) [pic 26]}

EJEMPLO   [pic 27]

1° factorizar (x-2)(x+2)>0 por lo tanto existen dos posibilidades.

Analizando las dos posibilidades [pic 28] la solución es (-2,2)

EJEMPLO   [pic 29]

1° factorizar (x-2)(x+1)>0 por lo tanto existen dos posibilidades.

Analizando las dos posibilidades [pic 30] la solución es (-1,2)

EJERCICIOS: 

[pic 31]

Resuelve la desigualdad, expresando el resultado en notación de intervalos, de conjuntos y gráficamente.

RECTA NÚMERICA: Es la representación gráfica del conjunto de los números reales.

                             R     [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

                                                -5   -4   -3    -2    -1   0     1     2    3     4    5

INTERVALOS

Intervalo abierto (a, b) comprende todos los valores entre a y b excepto a y b.

              (                    )             R          [pic 61][pic 62]

              [pic 63]                 [pic 64]

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