Tipos De Matrices

MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares de la forma xyz

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas.

Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m  n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

TIPOS DE MATRICES

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Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n  n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A• I = I •A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices:

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,

Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m  n, entonces AT = es la matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,

si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3  3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3  2 y otra de 3  3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

PRODUCTO DE MATRICES

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

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