Tipos De Rango

Objetivo del modelo de regresión simple:

Explicar el comportamiento de una variable cuantitativa de interés Y (consumo de gasolina de un coche híbrido, temperatura del agua marina) como función de otra variable cuantitativa X observable (velocidad del vehículo en ciudad, profundidad a la que se observa la temperatura del agua).

Y = variable respuesta, endógena o dependiente

X = regresor, predictor, variable explicativa, exógena o independiente

Principalmente el modelo de regresión lineal simple, en el que se expresa Y como función lineal de X.

Diseño fijo y aleatorio

En el disen˜o aleatorio tomamos una muestra (x1,y1),...,(xn,yn) de una poblaci´on (X,Y ) donde X es una variable aleatoria ( los valores observados de X no est´an prefijados de antemano).

(X,Y ) =(Estatura en cm,Peso en kg) de un estudiante universitario elegido al azar.

(X,Y ) =(Nivel de un cierto contaminante,Mortalidad) en una ciudad elegida al azar.

En este caso el modelo de regresi´on establece una expresi´on para la funci´on de regresi´on E(Y |X = x).

Ejemplo 3.1: Se desea estudiar la relaci´on entre la anchura X ( en mm.) y la longitud Y (en mm.) de la concha del Patelloida pygmaea, una lapa pegada a las rocas a lo largo de las costas protegidas en el ´area Indo-Pac´ıfica. Se observan los datos:

X Y X Y X Y X Y

0.9 3.1 1.9 5.0 2.1 5.6 2.3 5.8

1.5 3.6 1.9 5.3 2.1 5.7 2.3 6.2

1.6 4.3 1.9 5.7 2.1 5.8 2.3 6.3

1.7 4.7 2.0 4.4 2.2 5.2 2.3 6.4

1.7 5.5 2.0 5.2 2.2 5.3 2.4 6.4

1.8 5.7 2.0 5.3 2.2 5.6 2.4 6.3

1.8 5.2 2.1 5.4 2.2 5.8 2.7 6.3

En el disen˜o fijo prefijamos unos valores x1,...,xn de la variable X. Para cada xi tomamos una o varias observaciones de Y .

(X,Y ) =(profundidad en m. del agua marina,temperatura en oC del agua a esa profundidad)

xi 100 200 500 1000 1500 2000

yi 22 20 12 6 5 4

El modelo de regresi´on en este caso establece una expresi´on para E(Yi), el valor esperado de Y cuando el valor prefijado de X es xi.

Si todos los xi est´an a la misma distancia entre s´ı se trata de un disen˜o fijo equiespaciado.

El tratamiento estad´ıstico de ambos disen˜os es parecido, aunque la notaci´on sea diferente. A menudo, por simplicidad, utilizaremos la notaci´on del disen˜o fijo aunque el disen˜o del experimento sea aleatorio.

El modelo de regresi´on lineal simple

Disen˜o fijo: Disen˜o aleatorio:

Yi = β0 + β1xi + Ui (Y |X = xi) = β0 + β1xi + Ui

donde β0 y β1 son respectivamente la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de regresi´on. Ui es un t´ermino de perturbaci´on o error experimental.

Interpretaci´on de los par´ametros de la regresi´on:

β0 representa el valor medio de la respuesta Y cuando la variable explicativa X vale 0.

β1 representa

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