Trabajo Colaborativo 1

INTRODUCCIÓN

La presente actividad enfoca al estudiante al desarrollo en forma de ejercicios prácticos de las temáticas vistas en la primera unidad del módulo correspondiente al curso de Cálculo Diferencial, en especial los temas correspondientes a Sucesiones, y Progresiones.

ACTIVIDADES

Cada pregunta se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.

FASE 1

A. Halle los términos generales de las sucesiones:

1. C_n={3,1,-1,-3,-5………}

a1= 3

a2= 1

a3= -1

a4= -3

a5= -5

Vemos que es una progresión aritmética por que la diferencia es -2 ya que

an – an-1 = d que es constante

a2 – a1 = 1 – 3 = – 2

a3 – a2 = – 1 – 1= – 2

a4 – a3 = – 3 – (– 1) = – 2

a5 – a4 = – 5 – (– 3) = – 2

La fórmula del término general de una progresión aritmética

an = a1 + (n– 1) d

Reemplazamos:

an = 3 + (n– 1) (– 2)

an = 3 – 2n+ 2

Rta/ el término general de esta sucesión es:

an = 5– 2n

Demostración :

U_n={5-2n}_(n≥1)

U_(n=1)={5-2(1)}={3}

U_(n=2)={5-2(2)}={1}

U_(n=3)={5-2(3)}={-1}

U_(n=4)={5-2(4)}={-3}

U_(n=5)={5-2(5)}={-5}

U_(n=6)={5-2(6)}={-7}

2. C_n={1,3,9,27,81}

a1= 1

a2= 3

a3= 9

a4= 27

a5= 81

Vemos que es una progresión geométrica por que la razón es 3

a2 = a3 = a4

a1 a2 a3

a2 = 3 = 3

a1 1

a3 = 9 = 3

a2 3

a4 = 27 = 3

a3 9

a5 = 81 = 3

a4 27

La fórmula del término general de una progresión geometrica

an = a1 . rn-1

Rta/ Reemplazando el término general de esta sucesión es:

an = 1 . 3 n-1

Demostración:

U_n={3^(n-1) }_(n≥1)

U_(n=1)={3^(1-1)}={1}

U_(n=2)={3^(2-1) }={3}

U_(n=3)={3^(3-1) }={9}

U_(n=4)={3^(4-1) }={27}

U_(n=5)={3^(5-1) }={81}

U_(n=6)={3^(6-1) }={243}

3. C_n={1/2,3/4,1,5/4,3/2,…}

La diferencia entre el segundo y el primer término es 3/4-1/2=1/4 y la diferencia entre el tercer y el segundo término es 1-3/4=1/4 de donde se deduce que se trata de una sucesión aritmética con a_1=1/2 y d=1/4 .

Siendo la fórmula del término general de una progresión aritmética

a_n= a_1+(n-1)d

Si el término inicial n se toma como 1, reemplazando obtenemos:

a_n= 1/2+(n-1)1/4 es el término general de C_n={1/2,3/4,1,5/4,3/2,…}_(n≥1)./R

Por otro lado, siendo la fórmula del término general de una progresión aritmética a_n= a_1+nd

Si el término inicial n se toma como 0, reemplazando obtenemos:

a_n= 1/2+n 1/4 es el término general de C_n={1/2,3/4,1,5/4,3/2,…}_(n≥0)./R

Demostración:

U_n={(n+1)/4}_(n≥1)

U_(n=1)={(1+1)/4}={2/4}={1/2}

U_(n=2)={(2+1)/4}={3/4}

U_(n=3)={(3+1)/4}={4/4}={1}

U_(n=4)={(4+1)/4}={5/4}

U_(n=5)={(5+1)/4}={6/4}={3/2}

U_(n=6)={(6+1)/4}={7/4}

4. Demostrar que la sucesión On = 2n/(n+1) es estrictamente creciente.

Un +1 –Un > 0

=2(n+1)/((n+1)+1)-2n/(n+1)

=((2n+2)(n+1)-2n(n+2))/(n+2)(n+1)

=(2n^(2 )+4n+2-(2n^2+4n))/(n+2)(n+1)

= (2n^(2 )+4n+2-2n^2-4n)/(n+2)(n+1)

= 2/(n+2)(n+1)

Evaluamos.

n=1 ∶ 2/(1+2)(1+1) =2/6=0,33

n=2 ∶ 2/(2+2)(2+1) =2/12=0,16

n=3 ∶ 2/(3+2)(3+1) =2/24=0,08

Concluimos que la anterior sucesión es creciente, pues la función resultante siempre nos arrojara resultados positivos.

5. Demostrar que la sucesión On = 1/n es estrictamente decreciente.

Un +1 –Un < 0

1/(n+1)-1/n

= (n-(n+1))/n(n+1)

= (n-n-1)/(n^2+n)

=(-1)/(n^2+n)

Evaluamos. :

n=1∶ (-1)/(1^2+1)=(-1)/2 = -0,5

n=2∶ (-1)/(2^2+2)=(-1)/6 = -0,16

n=3∶ (-1)/(3^2+3)=(-1)/12 = -0,083

Esta sucesión es estrictamente decreciente por que la función resultante nos da como resultado siempre un número negativo.

C. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con ellas, si son o no crecientes.

6.

O_C "= " (〖3n〗^2+ 1)/(〖6n〗^2+2n+1)

O_C "= " (〖3(1)〗^2+ 1)/(〖6(1)〗^2+2(1)+1) = " " 4/(6+2+1) = 4/9 = 0,4444

O_C "= " (〖3(2)〗^2+ 1)/(〖6(2)〗^2+2(2)+1) = " " 13/(24+4+1) = 13/29 = 0,4482

O_C "= " (〖3(3)〗^2+ 1)/(〖6(3)〗^2+2(3)+1) = " " 28/(54+6+1) = 28/61 = 0,4590

O_C "= " (〖3(4)〗^2+ 1)/(〖6(4)〗^2+2(4)+1) = " " 49/(96+8+1) = 49/105 = 0,4666

O_C "= " (〖3(10)〗^2+ 1)/(〖6(10)〗^2+2(10)+1) = " " 301/(600+20+1) = 301/621 = 0,4847

O_C "= " (〖3(1000)〗^2+ 1)/(〖6(1000)〗^2+2(1000)+1) = " " 3000001/(6000000+2000+1) = 3000001/6002001 = 0,4998

Para n = 1, 2, 3, 4,… 10,… 1000,… la sucesión es creciente y tiende a 0,5 se puede decir que tiene como cota superior (0,5)

Gráficamente se puede observar así:

7. O_C "= " (5n + 1)/n^2

O_C "= " (5(1) + 1)/1^2 = 6/1 = 6

O_C "= " (5(2) + 1)/2^2 = 11/4 = 2,75

O_C "= " (5(3) + 1)/3^2 = 16/9 = 1,78

O_C "= " (5(4) + 1)/4^2 = 21/16 = 1,31

O_C "= " (5(5) + 1)/5^2 = 26/25 = 1,04

O_C "= " (5(6) + 1)/6^2 = 31/36 = 0,86

O_C "= " (5(1000) + 1)/〖1000〗^2 = 5001/1000000 = 0,005

Para n = 1, 2, 3, 4,… la sucesión es decreciente y tiende a “0” se puede decir que tiene como cota superior (6) y máxima cota inferior “0”

Gráficamente se puede observar así:

8. Qué término de una progresión aritmética es 21 si su primer término es -6 y la diferencia común es 3?

Planteamiento del Problema

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