Trabajo colaborativo de Algebra Lineal

EJERCICIOS PROPUESTOS

Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores:

u ⃗ = (-2.5)

‖□(→┬U )‖= √(X^2+ Y^2 )

‖□(→┬U )‖= √((-2)^2+(5)^2 )

‖□(→┬U )‖= √29

‖□(→┬□U )‖ = 5.39 Esta es la magnitud del vector

Ahora para realizar la dirección del vector:

□(→┬(U ) ) = (-2,5)

tan⁡θ= y/x

tan⁡θ=( 5)/(-2)

θ=tan^(-1) (5/(-2))

θ=-68.2° sería la dirección del vector, teniendo en cuenta que está en sentido de las manecillas del reloj partiendo del eje x.

Para tomarlo en sentido contrario a las manecillas del reloj, como sabemos que está en el cuadrante II :

180° - 68.2 = 111.8°

v ⃗ = (-√5, -3)

‖□(→┬V )‖= √(X^2+ Y^2 )

‖□(→┬V )‖= √((-√5)^2+(-3)^2 )

‖□(→┬V )‖= √13.99

‖□(→┬V )‖ = 3.74 Esta es la magnitud del vector

Ahora para realizar la dirección del vector:

v ⃗ = (-√5, -3)

tan⁡θ= y/x

tan⁡θ=( -3)/(-√5)

θ=tan^(-1) (( -3)/(-√5))

θ=53.3° sería la dirección del vector, teniendo en cuenta que está en sentido contrario a las manecillas del reloj partiendo del eje x.

Cuadrante III = 180+53.3 = 233.3°

Dados los vectores u ⃗ = (-1,3), ( w) ⃗ = ( -2,-3) y (z ) ⃗ = (4,1), realice:

2u ⃗ - 3w ⃗

Para hallar cada vector:

2u ⃗ = 2 (-1,3)= (-2,6 )

3w ⃗ = 3 ( -2,-3) = (-6,-9)

Para restar: u ⃗ - w ⃗ = u ⃗ +(-w ⃗ )

2u ⃗ - 3w ⃗ = 2u ⃗ +(-(3(w)) ⃗ )

= (-2,6 )+(6,9)

=(-2+6 ,6+9)

= (4,15 ) Resultado

-2u ⃗ + 4w ⃗ - (z ) ⃗

-2u ⃗ = -2(-1,3) = (2,-6)

4w ⃗ = 4 (-2,-3) = (-8,-12)

(z ) ⃗ = (4,1)

-2u ⃗ + 4w ⃗ - (z ) ⃗ = (2,-6) + (-8,-12) + (-4,-1) = (2+(-8)+(-4) , ((-6)+(-12)+(-1)) =

= ( -10, -19) Resultado

Dados los vectores

v = i – j +4k y w= -2i - j-4k , encuentre:

El ángulo entre v y w

v = 1, –1, 4

w= -2, -1,-4

Para hallar el ángulo entre dos vectores:

cos⁡θ (□(→┬v )*□(→┬w ))/(‖v‖ ‖w‖ )

Para calcular la longitud de cada vector:

‖v‖ = ‖1,-1,4‖ = √((1)^2 +(-1)^2+(4)^2 )= √18 =4.24 =

‖w‖ = ‖-2,-1,- 4‖ = √((-2)^2 +(-1)^2+(-4)^2 )= √21 =4.58

Para calcular el producto escalar de los vectores:

□(→┬v*□(→┬w = v_1 w_1+v_2 w_(2+) v_3 w_(3 ) = (1*-2)+(-1*-1)+(4*-4)=(-2+1-16)=-17 ))

Ahora reemplazamos en la fórmula

cos⁡θ (□(→┬v )*□(→┬w ))/(‖v‖ ‖w‖ ) = cos⁡θ (-17)/(4.24*4.58 )= cos⁡θ (-17)/(19.4192 )=cos⁡θ -0.875= cos^(-1)⁡〖-0.875=151°〗

El producto escalar entre v y w

Para calcular el producto escalar de los vectores:

□(→┬v*□(→┬w = v_1 w_1+v_2 w_(2+) v_3 w_(3 ) = (1*-2)+(-1*-1)+(4*-4)=(-2+1-16)=-17 ))

El producto vectorial entre v y w

v = i – j +4k y w= -2i - j-4k

Vamos a expresarlo mediante una determinante

v = 1, –1, 4

w= -2, -1,-4

→┬v x →┬w = |■(i&j&k@1&-1&4@-2&-1&-4) |= |■(-1&4@-1&-4)| i- |■(1&4@-2&-4)|j+|■(1&-1@-2&-1)| k= 8i-

4j+(-3)k = 8i-4j-3k Resultado

Dadas las matrices

A=[■(2&3&-7@-1&5&4@4&0&4)]

B=[■(-2&0&4@5/3&1&2@5&-1&9)]

C=[■(7&-4&-4@5&1&1/2@8&6&3)]

A+B+C

A-3B-2C

AXC

D=A*C=[■(2&3&-7@-1&5&4@4&0&4)]*[■(7&-4&-4@5&1&1/2@8&6&3)]=[■(-27&-47&-55/2@50&33&37/2@60&8&-4)]

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:

D1,1 = A1,1 * C1,1 + A1,2 * C2,1 + A1,3 * C3,1 =

D1,1 = = 2 • 7 + 3 • 5 + (-7) • 8 = 14 + 15 + (-56) = -27

D1,2 = A1,1 * C1,2 + A1,2 * C2,2 + A1,3 • C3,2 =

D1,2 = = 2 • (-4) + 3 • 1 + (-7) • 6 = (-8) + 3 + (-42) = -47

D1,3 = A1,1 * C1,3 + A1,2 * C2,3 + A1,3 • C3,3 =

D1,3 = = 2 • (-4) + 3 • (1/2) + (-7) • 3 = (-8) + (3/2) + (-21)

...