Trabajo Colaborativo Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL

Trabajo Colaborativo No. 2

Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.

INTRODUCCION

En el desarrollo de este trabajo apreciaremos ejercicios planteados por nuestro tuto y director de grupo, basados en los temas de la unidad 2 la cual hace referencia y explicación de temas como: conceptos de sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.

Para resolver los ejercicios utilizamos métodos como: la eliminación de Gauss – Jordán, la inversa y otros temas tales como: ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta, ecuación general del plano y los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales para este proceso como el editor de ecuaciones Word.

Estos ejercicios se realizaron con la participación de algunos integrantes de este grupo colaborativo, mostrando dinamismo y armonía.

OBJETIVOS

Los objetivos propuestos son alcanzar los conocimientos básicos en esta área de las matemáticas que nos servirán de base para afrontar este proceso de aprendizaje y para lo sucesivo de nuestras vidas en el campo profesional y personal.

Dotarnos de las herramientas provenientes de las matemáticas, en este caso del algebra lineal, con la intención de utilizarlas en la exigencia actual en campos de la ciencia, la tecnología y en nuestra vida cotidiana.

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar

todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

■(-2x-4y-7z=-6@5x-7y-3z=-2@-8x+5y+6z=-3)

matriz aumentada

■(-2&-4&-7@5&-7&-3@-8&5&6)|■(-6@-2@-3)┤

La llevamos a su forma escalonada

[■(-2&-4&-7@5&-7&-3@-8&5&6)├|■(-6@-2@-3)┤ ]f3-4f1[■(-2&-4&-7@5&-7&-3@0&21&34)├|■(-6@-2@21)┤ ]f1+ 3/5 f2[■(1&-41/5&-44/5@5&-7&-3@0&21&34)├|■(-36/5@-2@21)┤ ]f2-5f1[■(1&-41/5&-44/5@0&34&41@0&21&34)├|■(-36/5@34@21)┤ ] 1/21 f3[■(1&-41/5&-44/5@0&34&41@0&1&34/21)├|■(-36/5@34@1)┤ ]f3-1/34 f2[■(1&-41/5&-44/5@0&34&41@0&0&295/714)├|■(-36/5@34@0)┤ ]

Escribimos el sistema lineal que nos resulto de esta matriz

x-41/5 y-44/5 z=-36/5

34y+41z=34

295/714 z=0

Obtenemos z

295/714 z=0;z=0

Remplazamos z en la siguiente ecuación para hallar y

34y41+41z=34 como z=0

34y+41(0)=34

34y=34

y=1

Remplazamos yyz en la siguiente ecuación para hallar x

x-41/5 y-44/5 z=-36/5

x-41/5=-36/5

x=-36/5+41/5=1

Entonces la solución es

X=1

Y=1

Z=0

1.2

3x-y-z+4w=10

5x-3y-8z-2w=-1

Matriz aumentada

(■(3&-1&-1@5&-3&-8)■(4@-2)├|■(10@-1)┤ ) 1/3 f1(■(1&-1/3&-1/3@5&-3&-8)■(4/3@-2)├|■(10/3@-1)┤ )f2-5f1(■(1&-1/3&-1/3@0&-4/3&-19/3)■(4/3@-26/3)├|■(10/3@-55/3)┤ ) 3/4 f2(■(1&-1/3&-1/3@0&1&19/4)■(4/3@13/2)├|■(10/3@55/4)┤ )f1+ 1/3 f2(■(1&0&5/4@0&1&19/4)■(7/2@13/2)├|■(95/12@55/4)┤ )f1-(f2+1)(■(0&-2&-9/2@0&1&19/4)■(-4@13/2)├|■(-41/6@55/4)┤ )f2+ 1/2 f1(■(0&-2&-9/2@0&0&5/2)■(-4@9/2)├|■(-41/6@165/8)┤ )

La matriz ya se encuentra en forma escalonada. Escribimos el sistema resultante

-2-9/2 z-4w=-41/6

5/2 z+9/(2 ) w=165/8

Despejamos y en la primera ecuación

y=(-41/6+9/2 z+4w)/2

Despejamos z en la segunda ecuación

z=((165/8-9/2 w))/(5/2)

La matriz no tiene solución

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa

(utilice el método que prefiera para hallar A-1 ).

■(2x-y-7z=-7@3x-8y-2z=-2@-7x+2y+z=1)

Encontramos el determinante de A

detA=(■(2&-1&-7@3&-8&-2@-7&2&1))=331

Hallamos la inversa de A

A^(-1)=(■(0.00&0.00&-0.16@0.00&-0.14&-0.05@-0.15&0.00&0.00))

Consideramos la ecuaciónX=A^(-1) b donde

b=[■(-7@-2@1)]

X=(■(0.00&0.00&-0.16@0.00&-0.14&-0.05@-0.15&0.00&0.00))[■(-7@-2@1)]

0+0-0.16=-0.16

0+0.28-0.05=0.23

1.05+0+0=1.05

Es decir que la solución es

■(x=-0.16@y=0.23@z=1.05)

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos P (5,2,1) y Q (1,5 3)

SOLUCION

Primero encontramos el vector de dirección de la recta

V= PQ= (-1-(-5),5-(2),-3-(-1) 

V = -1+5, 5+2,

...