TRABAJO COLABORATIVO 1 DE ALGEBRA LINEAL

Ejercicios Algebra

Dados los vectores en su forma polar

|u|=5,θ=135°

u=5(cos⁡(135°),sen(135°))

u=5(-√2/2,√2/2)=(-(5√2)/2,(5√2)/2)

|v|=3,θ=60°

v=3(cos⁡(60°),sen(60°))

v=3(1/2,√3/2)=(3/2,(3√3)/2)

Operaciones

2u+v=

2u+v=2(-(5√2)/2,(5√2)/2)+(3/2,(3√3)/2)

(-5√2,5√2)+(3/2,(3√3)/2)

(-5√2+3/2,5√2+(3√3)/2)=((-10√2+3)/2,(10√2+3√2)/2)

V-u=

(3/2,(3√3)/2)-(-(5√2)/2,(5√2)/2)

(3/2,(3√3)/2)+((5√2)/2,-(5√2)/2)

(3/2+(5√2)/2,(3√3)/2-(5√2)/2)

((3+5√2)/2,(3√3-5√2)/2)

3v-4u=

3(3/2,(3√3)/2)-4(-(5√2)/2,(5√2)/2)

(9/2,(9√3)/2)+((20√2)/2,-(20√2)/2)

((9+20√2)/2,(9√3-20√2)/2)

Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

u=2i+9j v=-10i-4j

Dado que

cos⁡(θ)=(u*v)/|u||v|

Tenemos,

cos⁡(θ)=(((2i+9j)*(-10i-4j)))/|2i+9j||-10i-4j|

cos⁡(θ)=((-20i^2-36j^2 ))/(√(4+81) √(100+16))

cos⁡(θ)=((-20-36))/(√85 √116)=-56/√9860≈-0.5639

θ=cos^(-1)⁡〖-56/√9860≈124,33°〗

w=-2i-3j u=-7i-5j

Dado que

cos⁡(θ)=(u*v)/|u||v|

Tenemos,

cos⁡(θ)=(((-2i-3j)*(-7i-5j)))/|-2i-3j||-7i-5j|

cos⁡(θ)=((14i^2+15j^2 ))/(√(4+9) √(49+25))

cos⁡(θ)=((14+15))/(√13 √74)=29/√962≈0.9349

θ=cos^(-1)⁡〖(29/√962)≈20.77°〗

Calcule A^(-1)usando el método Gauss-Jordan

[■(-5&5&5@7&0&-8@1&2&3)][■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

fila1↔fila3

[■(1&2&3@7&0&-8@-5&5&5)][■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)]

fila2= -7fila1+fila2

[■(1&2&3@0&-14&-29@-5&5&5)][■(0&0&1@0&1&-7@1&0&0)]

fila3=5fila1+fila3

[■(1&2&3@0&-14&-29@0&15&20)][■(0&0&1@0&1&-7@1&0&5)]

fila2=-1/14 fila2

[■(1&2&3@0&1&29/14@0&15&20)][■(0&0&1@0&-1/14&1/2@1&0&5)]

fila3=-15fila2+fila3

[■(1&2&3@0&1&29/14@0&0&-155/14)][■(0&0&1@0&-1/14&1/2@1&15/14&-5/2)]

fila3=-14/155 fila3

[■(1&2&3@0&1&29/14@0&0&1)][■(0&0&1@0&-1/14&1/2@-14/155&-3/31&7/31)]

fila1=-2fila2+fila1

[■(1&0&-8/7@0&1&29/14@0&0&1)][■(0&1/7&0@0&-1/14&1/2@-14/155&-3/31&7/31)]

fila2=-29/14 fila3+fila2

[■(1&0&-8/7@0&1&0@0&0&1)][■(0&1/7&0@29/155&4/31&1/31@-14/155&-3/31&7/31)]

fila1=8/7 fila3+fila1

[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)][■(-16/155&1/31&8/31@29/155&4/31&1/31@-14/155&-3/31&7/31)]

Verificación Puntos 3,4 y 5 en excel.

Calculo de determinantes mediante propiedades:

Sea la matriz

■(1&0&9@-1&2&3@■(-1@0@0)&■(0@0@7)&■(-1@0@0))■(2&1@-2&1@■(2@2@1)&■(1@-2@1))

Entonces,

fila1=fila1+fila3

■(1&0&9@-1&2&3@■(0@0@0)&■(0@0@7)&■(8@0@0))■(2&1@-2&1@■(4@2@1)&■(2@-2@1))

fila2=fila1+fila2

■(1&0&9@0&2&12@■(0@0@0)&■(0@0@7)&■(8@0@0))■(2&1@0&2@■(4@2@1)&■(2@-2@1))

2 det⁡(B)=1/2 fila2

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@7)&■(8@0@0))■(2&1@0&1@■(4@2@1)&■(2@-2@1))

fila5=-7fila2+fila5

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(8@0@-42))■(2&1@0&1@■(4@2@1)&■(2@-2@-6))

fila5=21/4 fila3+fila5

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(8@0@0))■(2&1@0&1@■(4@2@22)&■(2@-2@9/2))

fila5=-11fila4+fila5

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(8@0@0))■(2&1@0&1@■(4@2@0)&■(2@-2@53/2))

Por tanto, el determinante está dado por:

Det(B)=(2)(1)(1)(8)(2)(53/2)=848

Encontrar la matriz inversa por medio de la matriz adjunta

A= [■(-1&1&-1@0&2&0@3&1&-5)]

Los Cofactores de dicha matriz están dados por:

C_11=(-1)^(1+1) |■(2&0@1&-5)|=-10

C_12=(-1)^(1+2) |■(0&0@3&-5)|=0

C_13=(-1)^(1+3) |■(0&2@3&1)|=-6

C_21=(-1)^(2+1) |■(1&-1@1&-5)|=4

C_22=(-1)^(2+2) |■(-1&-1@3&-5)|=8

C_23=(-1)^(2+3) |■(-1&1@3&1)|=4

C_31=(-1)^(3+1) |■(1&-1@2&0)|=2

C_32=(-1)^(3+2) |■(-1&-1@0&0)|=0

C_33=(-1)^(3+3) |■(-1&1@2&0)|=-2

Construimos entonces una matriz de cofactores:

Cofac(A)=[■(-10&0&-6@4&8&4@2&0&-2)]

La matriz adjunta es la traspuesta de los cofactores,

Adj(A)= [■(-10&4&2@0&8&0@-6&4&-2)]

El determinante está dado por:

det⁡(A)=〖(-1)C〗_11+〖〖1C〗_12+(-1)C_13〗^

(-1)(-1)^(1+1) |■(2&0@1&-5)|+〖(1)(-1)〗^(1+2) |■(0&0@3&-5)|+〖(-1)(-1)〗^(1+3) |■(0&2@3&1)|

=(10)+0+(6)=16

Por tanto, la matriz inversa de A es:

A^(-1)=1/16 [■(-10&4&2@0&8&0@-6&4&-2)]

A^(-1)=[■(-10/16&4/16&2/16@0&8/16&0@-6/16&4/16&-2/16)]=[■(-5/8&1/4&1/8@0&1/2&0@-3/8&1/4&-1/8)]

INTRODUCCIÓN

Con el fin de comprender y entender mejor la estructura y finalidad del Algebra Lineal, en esta actividad trataremos de analizar conceptos en sistemas lineales utilizando los diferentes métodos de eliminación, con aplicación del método Gaussiana, Gauss-Jordán, Regla de Cramer entre otros. Encontraremos también las intenciones que cada uno tiene y provee al participar con proyección, actitud y responsabilidad dentro de las actividades y objetivos temáticos a realizar en esta unidad.

En este trabajo podremos ver información útil del grupo colaborativo, información del como la

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