Algebra lineal trabajo colaborativo

UNIVERSIDAD

 POLITECNICO GRANCOLOMBINO

ING INDUSTRIAL

INTEGRANTES

RAMOS VARGAS MARCOS DE JESUS

MONTOYA GOMEZ JULIO CESAR

HERNANDEZ CUADROS LUIS ESTABAN (NT)

GONZALES FONSECA LINA MARCELA (NT)

MEZA ROMERO CLARA ELISA (NT)

TUTOR

LEYTON HERNANDO

ALGEBRA LINEAL

2020

Introducción

Nuestro interés consiste en reformular las definiciones de dependencia lineal, independencia lineal y espacio generado que ya se tienen para Rn, pero en el contexto general de los espacios vectoriales. Es de notar que en las definiciones dadas solo se hacía referencia a la suma de vectores, multiplicación de un vector por un escalar, a combinación lineal y al vector cero. Todo esto existe en el espacio vectorial en general. Nuestra meta consiste en decir que cosas pueden permanecer y que cosas pueden cambiar en un espacio generado.

Semana 3: Consulta inicial.

combinación lineal

Definición: la combinación lineal de dos o más vectores es un vector que se obtiene al realizar la suma de esos vectores multiplicados por escalares. Esto quiere decir que cualquier vector se puede poner como una combinación lineal de otros que tengan distintas direcciones.

Ejemplo:

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V, entonces cualquier vector que sea de la forma:

α1v1+α2v2+…+αnvn donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se les denomina Combinación Lineal de v1,v2,…,vn.

Todo vector V = (a,b,c) en R3 se puede expresar así:

i = (1,0,0);

j = (0,1,0);

k = (0,0,1);

V = (a,b,c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Ejercicio Propuesto:

Sea V = (-3, 8, 10) y v1 = (0, 5, 1) y v2 = (0, -1, 3) y v3 = (-1, -1, 5). Representar, si es posible, v como combinación lineal de los elementos v1, v2, v3.

Solución:

[pic 1]

vectores linealmente independientes 

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes, de manera que, si la combinación lineal es igual a cero, entonces cada uno de sus coeficientes es igual a cero

[pic 2]

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

[pic 3] vectores en [pic 4] son linealmente independientes si su determinante es distinto de cero.

Ejemplo:

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores [pic 5]

1 calculamos el determinante de los vectores

[pic 6]

2 como el determinante es igual a cero, concluimos que los vectores son linealmente dependientes.

 Ejemplo

[pic 7]

como existe una única solución, entonces A es linealmente independiente.  

Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si, algún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás.  Es decir, si uno de los vectores depende de los demás, el conjunto es dependiente.

Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente independiente, si y sólo si, ningún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás.  Es decir, si ninguno de los vectores depende de los demás, el conjunto es independiente.

 Si un vector es un múltiplo escalar de otro, los vectores son linealmente dependientes.

 Cualquier conjunto de más de n vectores de R3 es linealmente dependiente.

Espacio Generado

Definición  

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, . . ., vk vectores de V. El conjunto formado por todas las posibles combinaciones lineales de los vectores v1, v2, . . ., vk se llama el espacio generado por v1, v2, . . ., vk. Este conjunto se representa por

Gen {v1, v2, . . ., vk} Si V = Gen {v1, v2, . . ., vk} diremos que {v1, v2, . . ., vk} genera a V y que {v1, v2, . . ., vk} es un conjunto generador de V

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