UNIDAD 3 INFERENCIA LÓGICA

UNIDAD 3

INFERENCIA LÓGICA

Profesor:

Julián Darío Giraldo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

MEDELLÍN

2017

Objetivo general

Identificar y utilizar en forma clara las reglas de inferencia lógica por inducción y deducción en formulaciones y demostraciones de razonamientos válidos en situaciones específicas.

Objetivos específicos

• Enunciar que son demostraciones directas e indirectas en la lógica proposicional.
• Detallar a través de ejemplos las demostraciones directas e indirectas.
• Identificar y conceptualizar de las leyes de inferencia lógica el Modus Ponendo Ponens y Modus Tollendo Tollens.
• Aplicar las tablas de verdad y las leyes de inferencia lógica en la resolución de una situación problémica.
• Interpretar un enunciado tipo argumento de una situación problémica del mundo real y demostrar su validez a través de las tablas de verdad y de las leyes de inferencia.

Introducción

El siguiente trabajo correspondiente a la unidad 3 llamada Uso de las Reglas de Inferencia, abordamos el tema tipos de Demostración en la Lógica Matemática, que por decirlo así es una cadena finita de proposiciones verdaderas, que se obtienen con ayuda de reglas de inferencia lógicas.

Este trabajo está divido en tres pasos. El primer paso corresponde al uso de la demostración en la lógica matemática, sabiendo que existen diferentes vías para la demostración de un teorema, previamente se eligió exponer a través de ejemplos las demostraciones directas en indirectas, en el desarrollo de este paso encontraremos la definición con sus respectivos ejemplos.

En el paso dos hablaremos del uso de las reglas de inferencia lógica, pero específicamente de Modus Ponendo Ponens y Modus Tollendo Tollens, al igual que en el paso dos, encontremos la definición con sus respectivos ejemplos.

Concluimos el trabajo con la interpretación de un enunciado tipo argumento de una situación problémica del mundo real donde demostramos su validez a través de las tablas de verdad y el uso de las leyes de inferencia.

Primera etapa:

Socializar la conceptualización y mínimo tres ejemplos de alguna de las terminologías de los diferentes tipos de Demostración en la Lógica Matemática.

• Demostraciones Directas e Indirectas

Podemos definir una demostración como una sucesión de fórmulas en la que una de ellas es consecuencia lógica de otras que fungen como principios. Una fórmula se demuestra si se ofrece la sucesión de fórmulas que permiten arribar deductivamente a ella. Es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema, es decir demostrar un teorema equivale a probar que la proposición condicional P −→ Q es una tautología o lo que es igual probar que P =⇒ Q.

Ahora bien, las demostraciones pueden ser directas e indirectas.

• Demostración Directa

La forma más natural de demostración de un teorema o proposición que es una proposición condicional es la demostración directa. Analizando la tabla de verdad para P→Q, vemos que si queremos demostrar el teorema o proposición P→Q; es suficiente demostrar que Q es verdadera siempre que P lo sea (pues P→Q es verdadera cuando P es falsa).

Así, en una demostración directa de P→Q asumimos que la hipótesis, P; es verdadera y demostramos usando argumentos lógicos que la tesis, Q; es verdadera. Una demostración directa sigue el siguiente esquema.

Proposición: Si P; entonces Q:

Demostración: Supongamos P:

...

En consecuencia, Q.

Los puntos suspensivos ... indican la sucesión de razonamientos lógicos que inician con P verdadero y finalizan con Q verdadero.

Ejemplo 1:

Demuestre directamente que si n es un entero impar entonces n² también es un entero impar.

Tome un entero impar n arbitrario;

• n = 2k + 1, para algún entero k (axioma);
• n² = (2k + 1) ² = 4k² + 4k + 1 (inferencia);
• n² = 2(2k² + 2k) + 1 (inferencia);
• n² es impar (axioma).

Ejemplo 2

Dadas P, Q y R fórmulas, pruebe que:

(P ⇒Q) ⇒ ((Q ⇒R) ⇒ (P ⇒R)) es un teorema

1. P ⇒Q (hipótesis auxiliar)
2. Q ⇒R (hipótesis auxiliar)
3. P (Hipótesis auxiliar)
4. Q (RV1 en 1 y 3)
5. R (RV1 en 2 y 4)
6. P ⇒R (método directo en 3 y 5)
7. (Q ⇒R) ⇒ (P ⇒R) (método directo en 2 y 6)
8. (P ⇒Q) ⇒ ((Q ⇒R) ⇒ (P ⇒R)) (método directo en 1 y 7)

La anterior solución, muestra el esquema de la demostración, donde se hace una aplicación reiterada del método directo ya que lo que se debe probar es una cadena de implicaciones. A medida que se toman las hipótesis auxiliares, se va desplazando la demostración hacia la derecha, para mostrar que las siguientes afirmaciones están subordinadas a las hipótesis anteriores. Cuando se comienza a establecer conclusiones se vuelve a desplazar la demostración hacia la izquierda, hasta establecer la conclusión definitiva en la teoría original, es decir, aquella donde no hay hipótesis auxiliares.

Ejemplo 3

Demostrar que la multiplicación de un numero entero par por un entero impar es un entero par. Es de la forma Si H entonces T, esto es, si m es par y n es impar entonces mn es par. Su demostración directa es como sigue:

Po: m es par y n es impar

P1: m es par y n es impar ⇒ m = 2r, y n = 2s + 1 para enteros únicos r y s.

P2: m = 2r, y n = 2s + 1 ⇒ mn = 2r (2s + 1)

P3: mn = 2r (2s + 1) ⇒ mn = 2[r (2s+ 1)]

P4: mn = 2[r (2s+ 1)] ⇒mn es par

T:  mn es par (la conclusión a la queríamos llegar)

Observemos que hemos utilizado repetidamente la regla de inferencia 1. Regla 1 (PP)

      (Modus Ponendo Ponens)                         P1: p→q

                                                                                    P2: p[pic 1]

        Conclusión: q

• Demostración Indirecta

La “Demostración Indirecta” es tan solo el llegar a una conclusión verdadera, factible y conveniente por un método más largo y con una respuesta que indica que la conclusión es cierta. Cuando aplicamos la Demostración Directa, damos una premisa que conduce directamente a la conclusión, sin embargo, hay algunos casos en los que no puedes llegar a la conclusión directamente, por lo tanto, efectuamos la Demostración Indirecta.

Algunas veces la demostración directa tiene algunas dificultades y se opta por establecer la demostración utilizando una formula equivalente. Mencionaremos dos tipos de demostración indirecta.

1. Demostración por la contrarecíproca conocida también como demostración por contraposición. utilizamos la propiedad

(H ⇒ T) ⇐⇒ (∼T =⇒∼H)

Consiste en demostrar la validez de ∼T ⇒∼H usando la demostración directa; la equivalencia implicara la validez de H ⇒T.

Segunda etapa:

Socializar la conceptualización y mínimo tres ejemplos de alguna de las terminologías de las leyes de inferencia lógica.

• Modus Ponendo Ponens y Modus Tollendo Tollens.

Modus Ponendo Ponens

En lógica, el modus ponendo ponens (en latín, modo que afirmando afirma), también llamado modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

...