UNIDAD 3: PASO 3 - USO DE LAS REGLAS DE INFERENCIA

UNIDAD 3: PASO 3 - USO DE LAS REGLAS DE INFERENCIA

PENSAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO

PRESENTADO POR:

FABIÁN DE LA PUENTE ROYERO COD: 1052988664

TUTOR:

JORGE MARIO VILLEGAS

GRUPO:

200611_18

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

CEAD BARRANQUILLA

NOVIEMBRE DE 2017

OBJETIVOS

• Identificar y utilizar de forma clara las reglas de inferencia lógica.
• Socializar la conceptualización, con tres ejemplos de la demostración por el Principio de Inducción Matemática.
• Socializar la conceptualización, con tres ejemplos de Silogismo Hipotético y Silogismo Disyuntivo
• utilizar las operaciones necesarias de las tablas de verdad y la aplicabilidad de las leyes de inferencia lógica para resolver el ejercicio 5 del Anexo 1.

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se dará a conocer el desarrollo del Paso 3: Unidad 3 – Uso de las reglas de inferencia, mediante cuatros etapas abarcadas así; la primera etapa consiste en la conceptualización de la demostración por el Principio de Inducción Matemática, la segunda etapa consiste en la conceptualización de Silogismo Hipotético y Silogismo Disyuntivo, la tercera etapa consiste en utilizar las operaciones necesarias de las tablas de verdad y la aplicabilidad de las leyes de inferencia lógica para resolver el ejercicio 5 del Anexo 1, la cuarta y última etapa consiste en una presentación a través de Prezi acerca del Principio en la dualidad del Álgebra de Boole el cual se ilustra mediante una dirección de enlace.

ETAPA 1:

DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Sea   P   una propiedad definida en los números naturales (enteros positivos). Si   1   satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural   n   que satisface esa propiedad se llega a que   n   +   1, también la satisface, entonces cada número natural la satisface.

Para probar que una propiedad   P   se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:

1°) Se comprueba para   n   =   1     (Comprobación).

2°) Se asume que se cumple para   n   =   k     (Hipótesis de inducción).

3°) Se predice que se cumple para   n   =   k   +   1     (Tesis).

4°) Se demuestra que si se cumple para   n   =   k, entonces se cumple para   n   =   k   +   1     (Demostración) .

Observación:   En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural   m   >   1.  Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para   n   =   m.

Ejemplo 1

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   n ( n   +   1 )   es divisible por  2 .

a) Sea   n    =    1, entonces:

n ( n   +   1 )    =    2     ( Verdadero ) .

b) Sea   n   =   k, entonces:

k ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Hipótesis de inducción ) .

c) Sea   n   =   k   +   1, entonces:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2     ( Tesis ) .

d) Demostración:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   =    k ( k   +   1 )   +   2 ( k   +   1 )

k ( k   +   1 )   es divisible por   2    ( Por hipótesis de inducción ) .

2 ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Entero par ) .

Por lo tanto   ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2 .

Ejemplo 2

Demuestre por inducción matemática que:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 n   –   2 )    =    2 n 2

a) Sea   n    =    1, entonces:

4 n   –   2    =    2

2 n 2    =    2    ( Verdadero ) .

b) Sea   n   =   k, entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )    =    2 k 2     ( Hipótesis de inducción ) .

c) Sea   n   =   k   +   1, entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 ( k   +   1 ) 2     ( Tesis ) .

d ) Demostración:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )    =    2 k 2    ( Por hipótesis de inducción ) .

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 k 2    +    ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 k 2   +   4 k   +   2

Por lo tanto   2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 ( k   +   1 ) 2

Ejemplo 3

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   a 2 n   –   b 2 n   es divisible por   a   +   b .

a) Sea   n    =    1, entonces:

a 2 n   –   b 2 n    =    a 2   –   b 2    =    ( a   +   b )( a   –   b )    ( Verdadero ) .

b) Sea   n   =   k, entonces:

a 2 k   –   b 2 k   es divisible por   a   +   b     ( Hipótesis de inducción ) .

c) Sea   n   =   k   +   1, entonces:

a 2 ( k  +  1 )   –   b 2 ( k  +  1 )   es divisible por   a   +   b     ( Tesis ) .

d) Demostración:

...