UNIDAD II: TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES

UNIDAD II: TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES

2.1. CONCEPTOS GENERALES

Inferencia estadística: problema que vincula los resultados muestrales con los valores poblacionales, y comprende la estimación y la docimasia de hipótesis.

La Estadística se basa en la teoría de probabilidades, porque la probabilidad es a la vez el lenguaje y la medida de incertidumbre y los riesgos asociados a ella.

Incertidumbre y experimento aleatorio: incertidumbre es el resultado de algún proceso de cambio que, si puede conducir a dos o más resultados posibles, se dice que son inciertos, y se lo considera aleatorio o estocástico.

El experimento se conforma de pruebas realizadas bajo las mismas condiciones.

2.2. ESPACIOS PROBABILÍSTICOS, ESPACIO MUESTRAL, O ESPACIO DE MUESTRA (Ω): conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio (el conjunto universal). Cualquier prueba corresponde a un elemento de dicho espacio.

Ejemplo:

• Tirada de un dado → Ω = (1,2,3,4,5,6)
• Tirada de una moneda → Ω = (c,s)

[pic 3]

Puede representarse gráficamente mediante:

• Sistema de coordenadas cartesianas → 

[pic 4]

• Diagrama de árbol → 

Los resultados deben ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

Puede ser Discreto: resultados separables y contables, finito o infinito; o continuo: resultados no separables, infinito.

Cuando es infinito, puede ser numerable (autos que pasan un peaje por día) o no numerable (ingreso de familias a Córdoba).

2.3. EVENTOS O HECHOS: subconjunto de un espacio de muestra. Se representan con letras mayúsculas. Puede arrojar distintos resultados, y cada vez que se repite puede resultar cualquiera de ellos. No se los conoce de antemano.

Tipos de eventos:

• Evento simple, elemental, o fundamental: cada elemento de un espacio muestral. Es tbn un evento, ya que es un subconjunto que contiene solo un punto del espacio probabilístico. Son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Ej: si se tira una moneda y sale ceca no podría simultáneamente salir cara, pero podría haber salido.

• Compuesto, evento compuesto, o simplemente evento: contiene más de un punto de muestra en Ω.

• Evento cierto o seguro: (Ω) subconjunto que contiene todos los eventos elementales. Está dado por el espacio muestral, ya que alguno de sus componentes se va a presentar en alguna prueba.

• Evento imposible (Φ): subconjunto que no contiene puntos del espacio muestral, por lo que no puede ocurrir nunca.

Aspectos en la relación de eventos:

• Un evento ha ocurrido si al menos uno de sus elementos se ha presentado.
• Solo los eventos poseen probabilidad asociada.

Relación entre eventos:

• Eventos mutuamente excluyentes, mutuamente exclusivos, disjuntos o desunidos (A)(B): hechos definidos sobre el mismo espacio probabilístico, donde ningún punto de muestra está contenido en más de un evento. Es decir, no hay dos conjuntos con puntos de muestra en común.

• Eventos no mutuamente excluyentes o no mutuamente exclusivos: eventos definidos sobre el mismo espacio de muestra, donde algún punto de muestra está contenido en más de un evento. Es decir, tienen puntos en común. Pueden ser:

• Dependientes: la ocurrencia o no de un evento en una prueba afecta la probabilidad de otros en pruebas siguientes.
• Independientes: la ocurrencia o no de un evento en una prueba no afecta la probabilidad de otros en pruebas siguientes.

• Eventos colectivamente exhaustivos: dos o más eventos definidos sobre el mismo espacio de muestra, cuya unión es igual al espacio de muestra. n hechos que forman una partición de Ω, son mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

• Si dos o más hechos son mutuamente exclusivos, como máximo ocurrirá uno de ellos.
• Si dos o más eventos son colectivamente exhaustivos, por lo menos ocurrirá uno de ellos.
• Si un conjunto de hechos son mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos, ocurrirá uno de los hechos.

2.4. TEORÍAS PROBABILÍSTICAS

Interpretación de la probabilidad de un hecho: la probabilidad de un hecho es una expresión de su probabilidad de ocurrencia. Una probabilidad es un número que varía de cero a uno.

Principales escuelas de pensamiento:

• 2.4.1. Teoría clásica, principio de la razón insuficiente o enfoque de Laplace: se basa en que todos los resultados de un experimento al azar son igualmente probables. Todos deben tener los mismos pesos o probabilidades de ocurrencia.

Si el espacio de muestra tiene N(Ω) resultados igualmente probables, y si un hecho tiene n(E) elementos:

P(E) =  = [pic 5][pic 6]

Esta teoría depende del razonamiento lógico. Su aplicación está condicionada a que se conozca tanto numerador como denominador, por lo que es limitada.

• 2.4.2. Teoría frecuencial o teoría de la probabilidad por frecuencia relativa: determinar probabilidades de hechos por experimentos repetitivos (repetidas observaciones empíricas). Si un experimento es ejecutado n veces en las mismas condiciones y hay ni resultados (ni ≤ n) en que ocurrió un hecho, una estimación de la probabilidad de ese hecho es la frecuencia relativa. Esta estimación se acerca a un límite cuando n aumenta → P(E) =  . [pic 7]

Es decir, las frecuencias relativas tienden a estabilizarse cuando crece n, oscilando alrededor de un número ideal que es la probabilidad del evento, dando lugar al principio de estabilidad de probabilidad, siendo el sustento de los procesos de investigación.

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