Un Sistema de Partículas es un conjunto de puntos materiales limitados por una superficie cerrada

5. SISTEMA DE PARTICULAS

Un Sistema de Partículas es un conjunto de puntos materiales limitados por una superficie cerrada.

Los sistemas de partículas los podemos clasificar en sistemas discretos y continuos, siendo los primeros deformables o indeformables y los segundos deformables o sólidos rígidos.

Un sistema de partículas se considera que es discreto si lo compone un conjunto finito de puntos materiales. A nivel microscópico cualquier cuerpo se compone de una estructura discreta. Sin embargo, para explicar su comportamiento a nivel macroscópico se le considera formado por una distribución continua de materia.

[pic 1]En los sistemas deformables, la distancia relativa entre las partículas que lo forman puede variar a lo largo del tiempo.

En los sistemas deformables, esta distancia permanece constante sean cuales sean las interacciones que recibe el sistema por parte del medio.

• rij = ri – rj = cte → Sistema Indeformable.
• rij = ri – rj ≠ cte → Sistema Deformable.

Los sistemas continuos deformables son los que se modifican al actuar fuerzas sobre ellos.

Los cuerpos que se estudian en la aproximación del sólido rígido son aquéllos en los que se supone que las fuerzas que actúan sobre ellos son tan pequeñas que el sistema no se deforma bajo su acción.

Fuerzas Interiores y Exteriores:

Dado un sistema de partículas compuesto por “N” partículas, en general estas partículas interaccionan entre si de forma má o menos complicada. Pero además pueden interaccionar con otras partículas que no pertenecen al sistema.

Por eso resulta útil agrupar las fuerzas en:

• Exteriores: producidas por las partículas ajenas al sistema.
• Interiores: producidas por las partículas pertenecientes al sistema.

La suma de todas las fuerzas interiores que actúan sobre un sistema de partículas es el vector nulo “0“, tanto si el sistema se encuentra en equilibrio como si no lo está, expresado como:

[pic 2]

, que es lo mismo que decir que el sumatorio de las fuerzas de cada partícula “i” sobre todas las otras partículas “j” es nulo.

La distribución entre fuerzas interiores y exteriores depende del punto de vista.

Ecuaciones del movimiento:

El movimiento del sistema está determinado cuando se conozca la evolución temporal de cada una de las partículas que lo forma.

[pic 3]Si aplicamos la 2ª Ley de Newton a cada una de las partículas obtendremos “N” ecuaciones vectoriales, y si las combinamos una sola:

[pic 4]

[pic 5]

Como el segundo sumatorio es nulo, todo se reduce a la 2ª ley de Newton:

[pic 6]

(Donde “m” representa la masa total), lo que viene queriendo decir que la aceleración total del sistema de partículas queda determinada únicamente por el conjunto de fuerzas exteriores que actúan sobre él.

Centro de masas:

La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene determinada por la posición media de las partículas del mismo, teniendo más valor en dicha media las que posean mayor masa, lo que se expresa matemáticamente del siguiente modo:

[pic 7]

, donde “rG” es el vector posición del centro de masas.

Si derivamos respecto al tiempo:

[pic 8]

, donde “vG” es el vector velocidad del centro de masas.

Si derivamos respecto al tiempo de nuevo:

[pic 9]

, donde “aG” es el vector aceleración del centro de masas.

El centro de masas de un sistema cualquiera de partículas, deformable o no, tiene el mismo movimiento que un punto material cuya masa fuese igual a la totalidad del sistema y sobre el que actuase la resultante de las fuerzas exteriores al sistema “Fext“.

Se puede estudiar la evolución temporal de un sistema a partir de la evolución del centro de masas del mismo.

Propiedades del centro de masas:

• [pic 10]Permite reducir el estudio de la dinámica de un sistema al de una partícula, aunque para estudiar de forma total el movimiento del mismo respecto a un sistema de referencia inercial hay que estudiar cómo se mueve el centro de masas con respecto de dicho sistema y, además, describir el movimiento de las partículas del sistema respecto al centro de masas. La forma más simple de abordarlo es elegir un sistema de referencia inercial localizado en el propio centro de masas que se mueva con él, pero cuya orientación permanezca paralela al sistema de referencia inercial exterior.
• El centro de masas es un punto geométrico que no tiene por qué corresponderse con la posición de una partícula material del sistema.
• El centro de masas está contenido en los elementos de simetría del sistema. Si el cuerpo tiene un plano o un eje de simetría éste contiene al centro de masas. Si posee un centro de simetría, éste será directamente el centro de masas.
• El centro de masas es independiente del sistema de referencia inercial empleado para localizarlo. Solo depende de la masa de las partículas y de sus posiciones relativas entre si.
• Para los cuerpos en los que se considera una distribución continua de masas, se cumple la siguiente igualdad:[pic 11]. Para aplicar puede resultar más cómodo emplear las siguientes equivalencias: densidad lineal:[pic 12]; densidad superficial:[pic 13]; y densidad volúmica:[pic 14]

Momento Lineal del Sistema de Partículas:

El momento lineal de una partícula referido a un origen fijo sería:

[pic 15]

, y el de todo el sistema:

[pic 16]

[pic 17]Si lo derivamos respecto al tiempo:

[pic 18]

, de donde surge el Teorema del Momento Lineal del Sistema de Partículas:

[pic 19]

Solo las fuerzas exteriores pueden variar el momento lineal. Si son nulas el momento lineal es constante.

Una aplicación  muy importante es cuando las fuerzas interiores que componen el sistema son impulsivas. (Por fuerzas impulsivas se entienden fuerzas de gran intensidad que actúan durante un pequeño intervalo de tiempo, como un disparo o una detonación). Este tipo de fuerzas son tan intensas que durante el tiempo que actúan todas las demás son despreciables, y como las fuerzas impulsivas son interiores al sistema, su momento lineal se conservará aunque actúen fuerzas exteriores (pudiéndose calcular así, por ejemplo, el retroceso de una pistola [el momento lineal de la bala es opuesto al del arma]).

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