Un experimento sobre la distribución binomial: “La máquina de Galton”

Matemáticas para la toma de Decisiones[pic 1][pic 2]

17 de marzo de 2022

Un experimento sobre la distribución binomial: “La máquina de Galton”

Objetivo: Que los alumnos en equipos de 3 o 4 personas como máximo, construyan su propio modelo de la máquina de Galton a partir de los materiales (o similares) que se presentan a continuación, además de que comparen los resultados teóricos de cierta distribución de probabilidad con los resultados experimentales que ellos mismos obtendrán. También investigarán la relación de cierta distribución discreta y su posible relación con una distribución continua.

Materiales:

-800 esferas de máximo 4.5 mm de diámetro (para evitar que quede demasiado grande el tablero).

-Una base de madera (o similar) de 20x37 cm.

- 1 cartón ilustración de 1/8.

-Una placa de acrílico transparente de 20x37cm y de espesor 1 o 2 mm, para que sea fácil cortar en caso de ser necesario.

-Silicón frío (o pegamento blanco)

-324 clavos pequeños o material similar (podrían tratar de usar chinchetas).

Instrucciones de armado:

1. Marca con un lápiz 25 líneas centradas desde la base de la madera que tengan una separación de 0.6 cm y una altura de 15 cm como lo muestra la siguiente imagen.

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1. Marcar el siguiente patrón en la tabla dejando una separación 0.7 cm entre las líneas y el “triángulo” de puntos. La distancia entre cada punto es de 0.6 cm (para que coincida con la separación de los “rieles”.

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1. Por cada punto del patrón fijar un clavo dejando que sobresalga de la base de madera aproximadamente 1 cm (procuren que todos los clavos sobresalgan casi la misma altura para que no batallen al poner el acrílico). La base de madera la podrían sustituir por una tabla de corcho y usar chinchetas transparentes (eso lo consiguen en Office Depot pero es más costoso).

1. Del cartón ilustración, marcar y recortar 25 rectángulos de 1cm x 15 cm; 2 rectángulos de 1cm x 37 cm; 2 rectángulos de 1cm x 20 cm. Pegar con Resistol blanco dichos rectángulos en las líneas marcadas y en los bordes de la tabla de acuerdo con cada longitud. La idea es que la máquina de Galton que construyan tenga un espesor de aproximadamente 1 cm.

1. Realizar un corte centrado en la tapa superior por donde se dejarán caer las esferas (para poder reutilizarlas con los otros equipos). También es necesario poner unas separaciones en diagonal en la punta del triángulo de clavos para evitar que las esferas reboten hacia los extremos, pueden guiarse en la siguiente imagen.

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1. Poner un poco de silicón frío en la cabeza de algunos clavos y en los bordes del cartón para pegar la tapa de acrílico transparente que servirá para evitar que se caigan las esferas cuando se acumulen en cada fila. Y dejarla secar alrededor de un día.

1. Construir un cono o pueden usar el recipiente de las esferas para que sea fácil dejar caer las esferas y recogerlas para repetir el experimento.

Preguntas teóricas: Una vez terminada la máquina de Galton, contesta lo siguiente:

1. Consulten un poco sobre la historia de esta máquina y además escriban la fórmula que indica la probabilidad de que una esfera recorra  niveles a la derecha (o izquierda). [pic 27]
2. Al realizar el experimento de dejar caer las 800 esferas en su máquina de Galton, ¿cuál es el valor esperado teórico de esferas que caerán en la fila central?
3. Consulten cómo se realiza una aproximación de la distribución binomial a través de la distribución normal y encuentren la función de la distribución normal correspondiente si usaran:

1. 800 esferas.
2. 600 esferas.
3. 400 esferas.

1. Grafiquen en GeoGebra cada función de los incisos del problema anterior e impriman las gráficas obtenidas en un acetato transparente, indicando a qué ecuación corresponden (si es necesario al imprimir modifiquen la relación entre unidades para que sea compatible con el tamaño de la máquina de Galton). Una vez que tengan las tres gráficas impresas superpóngalas y dejen caer el número correspondiente de esferas (800,600,400). Tomen una foto para ver la comparación entre el resultado experimental de la distribución binomial y la aproximación teórica de la función normal. Adjuntar las fotos de los experimentos.
2. ¿Qué ocurriría si en lugar de forma esférica se usara alguna otra al dejarlos caer por el triángulo en la máquina de Galton? ¿Qué pasaría si se dejan caer las esferas, pero no desde el centro de la máquina?  

Anoten todas sus observaciones y respuestas.

Entregables:

- Máquina armada y terminada.

- Acetatos con las funciones impresas.

- Documento con las preguntas contestadas.

La calificación total del proyecto se obtendrá en base a los entregables de acuerdo con la siguiente tabla:

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