Unidad 2 Matrices y Determinantes..

Unidad 2 Matrices y Determinantes.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de la ecuación diferencial y de las derivadas parciales. También tienen muchas aplicaciones en el campo de la física. Son el medio ideal para organizar y estructurar la información, especialmente la que puede reducirse a números.

Sea (K) el cuerpo de los números reales o números complejos y sean  números naturales. Una matriz  es una aplicación A= {} x {,  A  será un número real o complejo. Como el dominio de la matriz.                 A= [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Entonces la matriz A tiene  filas y  columnas. Denotaremos por  al conjunto de matrices de tamaño  con coeficientes. En caso de que , es decir tenemos al mismo número de filas que de columnas diremos que la matriz A es cuadrada.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Ejemplo: [pic 13]

Al tener 3 filas y 3 columnas. Así que se escribe A= (). La fila ésima de la matriz A será denotada por  En cada fila la matriz A es una matriz de una fila y  columnas. A su vez la columna ésima de la matriz ,  se representa:    por lo tanto una matriz de  filas y una columna.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Ejemplo:  la columna seria . [pic 22][pic 23]

Sus elementos:

1. Matriz real, sus elementos son números reales: [pic 24]
2. Matriz compleja, sus elementos son números complejos [pic 25]
3. Matriz nula, sus elementos son todos nulos

[pic 26]

-Matriz cuadrada: matriz que verifica  en este caso se escribe  y se dice que es una matriz de orden n.   [pic 27][pic 28][pic 29]

-Matriz rectangular: matriz en la que .  [pic 30][pic 31]

Una matriz cuadrada que sólo tome valores no nulos en los elementos de la diagonal principal se dirá diagonal,

Por ejemplo: A= , [pic 32][pic 33]

Una matriz cuadrada  se denomina diagonal si todas sus entradas fuera de la diagonal son iguales a cero: [pic 34][pic 35][pic 36]

Las matrices diagonales, cumplen que sus elementos  Si solo se pide  se tendremos matrices triangulares (no son cuadrados) por ejemplo: [pic 37][pic 38]

  Son triangulares.[pic 39]

Ejemplo: (3, 5,-2) =Las entradas diagonales de una matriz diagonal pueden ser iguales o cero. [pic 40]

Por ejemplo, la matriz cuadrada nula 0 es una matriz diagonal. Es un error común pensar las entradas diagonales deben ser distintas de cero.

Traspuesta de una matriz: Consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota  [pic 41]

[pic 42]

Marices simétricas: Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

[pic 43]

2.2 Operaciones con matrices  

Suma con matrices

Dadas las matrices A, B  (K) N, se define la suma de ambas matrices como[pic 44][pic 45][pic 46]

A+B= = [pic 47][pic 48]

Ejemplo: A+B=   Si la matriz no tiene el mismo tamaño no es posible calcular.[pic 49]

Producto de matrices

Dadas las matrices A Є (K) y BЄ (K),Є N, se define el producto AB, para poder multiplicar dos matrices en número de columnas de la primera ha de coincidir con el número de filas de la segunda.[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

[pic 54]

De lo contrario será imposible calcular el producto. La propiedad asociativa. Dada  (K),[pic 55]

(K), (K) se verifica que (AB)  C=A(B  C). Existe un elemento neutro, llamado identidad y que es la matriz diagonal que tiene 1 en cada elemento de la diagonal principal. Si la matriz  es cuadrada, entonces [pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

Multiplicación de una matriz por un escalar

Se define la multiplicación de α por  como la matriz α∙. Por ejemplo:   [pic 65][pic 66][pic 67]

Propiedad distributiva del producto respecto de, entonces se verifica que α · (A + B) = α · A + α · B. Para probar esta igualdad consideramos. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma de escalares. Sean α, β ∈ K y A ∈  (K), entonces se cumple que (α + β) · A = α · A + β · A. [pic 68][pic 69]

Para toda matriz A ∈ (K) se verifica que 1 · A = A. Para demostrarlo consideramos [pic 70]

1 · A = 1 · ( Estas propiedades junto con las propiedades de la suma de matrices hace que la terna (K) tenga estructura de espacio vectorial, como veremos con mayor detalle en el tema dedicado a los espacios vectoriales.[pic 71][pic 72]

Matriz traspuesta

Se define su matriz traspuesta de A como una matriz denotada (K) y que se construye intercambiando las filas por las columnas de A.          [pic 73][pic 74]

Sus propiedades de la matriz: Sean  (K) y  (K) entonces: [pic 75][pic 76]

a) (. [pic 77]

b) ([pic 78]

c)[pic 79]

d).[pic 80]

e) Si (K) es una matriz invertible, entonces [pic 81][pic 82]

La matriz traspuesta se utiliza para definir dos tipos especiales de matrices. Una matriz cuadrada A se dice simétrica si  y se dice antisimétrica si . Si una matriz A es simétrica se verifica que  por lo que  por lo tanto las matrices simétricas son:[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

Si por el contrario la matriz  es antisimétrica, tenemos que  por lo que , y si  entonces  por lo que  Son ejemplos de matrices antisimétricas:[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

[pic 94]

Rango de una matriz.

Se llama rango de la matriz A, detonador r (A), al número máximo de filas o columnas linealmente independientes que hay en A. Consideremos la matriz  Su rango se calcula tomando las dos filas  [pic 95][pic 96]

Se plante la expresión. . Donde se obtiene:        donde [pic 97][pic 98][pic 99]

Operaciones elementales en matrices

Para calcular el rango de una matriz de forma práctica necesitamos unas herramientas que se conocen con el nombre de operaciones elementales fila y columna, y que son totalmente análogas a las operaciones elementales que hemos estudiado al resolver sistemas de ecuaciones lineales. Dada la matriz  (K), siendo en total tres operaciones: 1) Intercambiar dos filas de la matriz A. 2) Multiplicar una fila por una escalar α ∈ K no nulo. 3) Suma a una fila otra fila multiplicada por un escalar α ∈ K.[pic 100]

Para evitar errores se pueden producir al utilizar indistintamente operaciones elementales fila y columna.

Se intercambia la fila 2 por la fila 3 [pic 101][pic 102]

Si multiplicamos la primera fila de A por 2 escribimos.   [pic 103][pic 104]

Se suma la primera fila de A la segunda multiplicada por 2. F1+2F2 . [pic 105][pic 106]

Podemos concatenar operaciones elementales filas de la siguiente manera.

[pic 107]

La notación tenemos para operaciones columna cambiando F por C. La utilidad de las operaciones elementales para calcular el rango de una matriz sea concreta. Las operaciones elementales conservan entonces el rango al transformar la matriz. Para calcular el rango de una matriz se basa en hacer operaciones elementales fila en una matriz. Se hace las operaciones elementales fila buscando una matriz triangular.

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