Variables Aleatorias

VARIABLES ALEATORIAS

La variable aleatoria en general son funciones definidas sobre los elementos de un espacio muestral

Son resultados de experimentos afectados por algún mecanismo de azar

Pueden ser discretos o continuos

DISCRETA: si los valores que asume se puede CONTAR

CONTINUA: si puede asumir cualquier valor dentro de un determinado intervalo

Ejemplos:

-Nº de accidentes que ocurren en un mes

-Nº de defectos en un producto

-Cantidad de cosechas perdidas -Estatura de estudiantes de la FIIS

-Duración de una llamada telefónica

-Nº de días de ausencia en el trabajo

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Sea X una v.a. discreta cuyos valores son:

x1, x2, x3,…,xk, y asumen las probabilidades de p (X= xi ) = f (xi) →

La función de probabilidad o ley de probab. o función de cuantía de x será:

Xi X1 X2 … Xk

f(xi) f(x1) f(x2) … f(xk)

Condiciones:

i) f (xi ) ≥ 0

ii)

Sea X una variable aleatoria continua f(x) función densidad

p(a ≤ x ≤ b) =

Condiciones:

i) f (xi) ≥ 0

ii) = 1

a b

ESPERANZA MATEMÁTICA: E(X), µ

E(X) = f(xi) E(X) =

Propiedades

E (K) = K E (KX) = K E(X), K es constante.

E (K ± X) = K ± E (X) E (X ± Y) = E (X) ± E (Y)

VARIANZA: V(x), S2, σ2

V(X) = = E

V(X) =

V(X) = =

Si: V(X) existe µ = E(X) y E (X2) existen

PROPIEDADES

V (X) ≥ 0 V (k) = 0

V (k ± X) = V (X) V (K x) = K2 V(x)

Si X e Y son independientes: V (x ± y) = V(x) ± V (y)

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

O FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA: fda

Sea x una v.a. (discreta o continua)

La fda. de x es la función definida por:

F(a) = p (x ≤ a)

F(x) = F(x) =

f (x) =

-(C+1/2) + (C+1/2) = 1 →

f(x)= 1

-1 0 1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

En (-∞ ,-1) F(x) =

En (-1, 0) F(x) =

En (0, 1) F(x) =

En (1, ∞) F (x) =

-1 0 1

K F (x) =

X ≥ 1 → F (x) =

a) X: Nº de extracciones que hay que realizar para conseguir la mejor

iluminación

Ai =probar un foco de 100W en la i-ésima extracción

X=6 → p (A1 A2 A3 A4 A5 A6) = 4/9

X=6 → p (A1 A2 A3 A4 A5 A6) = 5/9 4/8

X=6 → p (A1 A2 A3 A4 A5 A6) = 5/9 4/8 4/7

X=6 → p (A1 A2 A3 A4 A5 A6) = 5/9 4/8 3/7 4/6

X=6 → p (A1 A2 A3 A4 A5 A6) = 5/9 4/8 3/7 2/6 4/5

X=6 → p (A1 A2 A3 A4 A5 A6) = 5/9 4/8 3/7 2/6 1/5 4/4

f (x) =

x 1 2 3 4 5 6 Σ

f(x) 4/9 5/18 10/63 5/63 2/63 1/63 1

b) F(t) = p ( x ≤ t ) = =

= F(x)=

a) C Integración por partes

a) Moda =

b) Mediana

ln

= a → a = 0.8318

de ( ) :

F(x) =ln

0.5

f (x) = 2.64 f (y) =

b) Moda Mo =

→

Mediana: a

= (A)

De (A):

F (x) =

F (x) =

...